Задача 1
Условие (кратко)
В треугольнике ABC BC = 34 см. Перпендикуляр MN из середины BC к прямой AC делит AC на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(BC = 34\) см
- \(M\) — середина \(BC\)
- \(MN \perp AC\)
- \(AN = 25\) см
- \(NC = 15\) см
Найти
- \(S_{ABC}\)
-
\(MC = 34 : 2 = 17\) см. В прямоугольном \(\triangle MNC\) по теореме Пифагора \(MN = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8\) см.
-
\(AC = 25 + 15 = 40\) см. \(MN\) — высота \(\triangle AMC\): \(S_{AMC} = \dfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 8 = 160\) см².
-
\(AM\) — медиана. Треугольники \(ABM\) и \(ACM\) имеют равные основания \(BM = MC\) и общую высоту из \(A\), поэтому равновелики. \(S_{ABC} = 2 \cdot 160 = 320\) см².
Ответ
320 см²
Почему так
Перпендикуляр — высота половинки треугольника, а медиана делит треугольник на две равновеликие части.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».