Задача 1
Условие (кратко)
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB = 5 см, BC = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, AC = 12 см.
Решение
Дано
- \(ABCD\)
- \(AB = 5\) см
- \(BC = 13\) см
- \(CD = 9\) см
- \(DA = 15\) см
- \(AC = 12\) см
Найти
- \(S_{ABCD}\)
-
В \(\triangle ABC\): \(AB^2 + AC^2 = 25 + 144 = 169 = BC^2\). По теореме, обратной теореме Пифагора, \(\angle BAC = 90^\circ\).
-
В \(\triangle ACD\): \(AC^2 + CD^2 = 144 + 81 = 225 = DA^2\), значит, \(\angle ACD = 90^\circ\).
-
Диагональ \(AC\) делит четырёхугольник на два прямоугольных треугольника: \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 + \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 30 + 54 = 84\) см².
Ответ
84 см²
Почему так
Обратная теорема Пифагора показывает, что оба треугольника при диагонали AC прямоугольные.
Подробнее — в теме «Теорема, обратная теореме Пифагора».