Треугольник со сторонами 7, 24 и 25 прямоугольный. Против какой стороны лежит прямой угол?

Определить нельзя

Теорема, обратная теореме Пифагора

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Теорема Пифагора

Коротко о главном

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный, а прямой угол лежит против этой (большей) стороны.

c^2 = a^2 + b^2 \;\Rightarrow\; \angle C = 90^\circ

Подробное объяснение

Как строители без угольника проверяют, что угол фундамента прямой? Отмеряют от угла 3 м по одной стене и 4 м по другой. Если между отметками ровно 5 м — угол прямой. Почему это работает, объясняет теорема, обратная теореме Пифагора.

Прямая и обратная теоремы

Теорема Пифагора говорит: если треугольник прямоугольный, то $$c^2 = a^2 + b^2$$ . Обратная теорема меняет местами условие и вывод: если для сторон выполняется $$c^2 = a^2 + b^2$$ , то треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против стороны $$c$$ .

Это две разные теоремы. Первая помогает считать стороны, когда прямой угол уже известен. Вторая позволяет обнаружить прямой угол, зная только длины сторон.

Почему это верно

Пусть в треугольнике $$ABC$$ выполняется $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ . Построим отдельно прямоугольный треугольник $$A_1B_1C_1$$ с прямым углом $$C_1$$ и катетами $$A_1C_1 = AC$$ , $$B_1C_1 = BC$$ . По теореме Пифагора $$A_1B_1^2 = AC^2 + BC^2 = AB^2$$ , значит, $$A_1B_1 = AB$$ . Треугольники равны по трём сторонам, поэтому $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ .

Пифагоровы треугольники

Прямоугольные треугольники, у которых все стороны — целые числа, называют пифагоровыми. Самые известные тройки:

3, 4, 5;
5, 12, 13;
8, 15, 17;
7, 24, 25.

Если стороны пифагорова треугольника умножить на одно и то же число, снова получится пифагоров треугольник: 6, 8, 10 или 9, 12, 15. Все такие тройки дают формулы $$a = 2kmn$$ , $$b = k(m^2 - n^2)$$ , $$c = k(m^2 + n^2)$$ , где $$k$$ , $$m$$ , $$n$$ — натуральные числа и $$m > n$$ . Например, при $$k = 1$$ , $$m = 2$$ , $$n = 1$$ получается 4, 3, 5.

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 называют египетским: его знали ещё в Древнем Египте. Верёвку делили узлами на 12 равных частей, связывали концы и натягивали на три кола треугольником 3, 4, 5. Угол между сторонами 3 и 4 получался прямым.

Верёвка с узлами, разделённая на 12 равных частей, натянута на три кола треугольником со сторонами 3, 4 и 5 частей. Угол между сторонами 3 и 4 прямой. — Так как 5² = 3² + 4², треугольник 3, 4, 5 прямоугольный — так строили прямые углы в Древнем Египте.

Как решать задачи

Найдите большую сторону — только она может оказаться гипотенузой.
Возведите её в квадрат.
Сложите квадраты двух других сторон.
Равны — треугольник прямоугольный, прямой угол против большей стороны. Не равны — треугольник не прямоугольный (иначе по теореме Пифагора равенство бы выполнялось).
Если треугольник оказался прямоугольным, этим можно пользоваться дальше: площадь равна половине произведения катетов, а высоту к гипотенузе находят через площадь.

Разобранные примеры

База

Проверка по трём сторонам

Условие

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 20, 21 и 29?

Дано

стороны 20
21
29

Найти

прямоугольный ли треугольник

Решение

Большая сторона — 29, $$29^2 = 841$$ . Сумма квадратов двух других: $$20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$$ . Равенство выполняется, значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный, прямой угол лежит против стороны 29.

Ответ: Да

Средний

Треугольник, который не прямоугольный

Условие

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 9, 6 и 7?

Дано

стороны 9
6
7

Найти

прямоугольный ли треугольник

Решение

Большая сторона здесь первая — 9, $$9^2 = 81$$ . $$6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$$ . Так как $81 \ne 85$ , треугольник не может быть прямоугольным: если бы он был прямоугольным, по теореме Пифагора квадрат большей стороны равнялся бы сумме квадратов двух других.

Ответ: Нет

Сложный

Площадь четырёхугольника

Условие

В четырёхугольнике $$ABCD$$ угол $$B$$ прямой, $$AB = 3$$ см, $$BC = 4$$ см, $$CD = 12$$ см, $$AD = 13$$ см. Найдите площадь четырёхугольника.

Дано

$\angle B = 90^\circ$
$$AB = 3$$ см
$$BC = 4$$ см
$$CD = 12$$ см
$$AD = 13$$ см

Найти

$S_{ABCD}$

Решение

Диагональ $$AC$$ делит четырёхугольник на два треугольника. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ : $$AC^2 = 9 + 16 = 25$$ , $$AC = 5$$ см.
В треугольнике $$ACD$$ : $$AC^2 + CD^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = AD^2$$ . По обратной теореме Пифагора угол $$ACD$$ прямой.
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см², $S_{ACD} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ см².
$S_{ABCD} = 6 + 30 = 36$ см².

Ответ: 36 см²

Типичные ошибки

Проверяют не ту сторону

Почему неверно

Для сторон 11, 9, 13 пишут $$11^2 = 9^2 + 13^2$$ , потому что 11 записано первым. Гипотенузой может быть только большая сторона, и проверку нужно делать для неё.

Как правильно

Сначала упорядочьте стороны: 9, 11, 13. Проверяйте равенство $$13^2 = 9^2 + 11^2$$ . Оно неверно, так как $169 \ne 202$ , поэтому треугольник не прямоугольный.

Путают прямую и обратную теоремы

Почему неверно

Говорят: «Треугольник прямоугольный по теореме Пифагора, потому что $$5^2 = 3^2 + 4^2$$ ». Теорема Пифагора начинается с прямого угла и выводит равенство. Здесь же из равенства выводится прямой угол.

Как правильно

Когда по сторонам доказываете, что угол прямой, ссылайтесь на теорему, обратную теореме Пифагора.

Считают, что прямоугольными бывают только треугольники 3, 4, 5

Почему неверно

Прямоугольным может быть треугольник с любыми сторонами, в том числе дробными или с корнями: 1, 1, $\sqrt{2}$ или 0,7; 2,4; 2,5. Пифагоровы тройки — лишь удобные примеры с целыми числами.

Как правильно

Всегда проверяйте равенство $$c^2 = a^2 + b^2$$ , а не ищите знакомую тройку.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 9, 40 и 41?

Подсказка

Сравните квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других.

Решение

$$41^2 = 1681$$ , $$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$$ . Равенство выполняется, поэтому по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный.

Ответ

Да

База Задача 2

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 4, 5 и 6?

Подсказка

Большая сторона — 6.

Решение

$$6^2 = 36$$ , а $$4^2 + 5^2 = 41$$ . Если бы треугольник был прямоугольным, гипотенузой была бы сторона 6 и выполнялось бы $$36 = 41$$ . Это неверно, значит, треугольник не прямоугольный.

Ответ

Нет

Средний Задача 3

Стороны треугольника равны 0,7 дм, 2,4 дм и 2,5 дм. Является ли он прямоугольным? Если да, укажите, против какой стороны лежит прямой угол.

Подсказка

С десятичными дробями работает та же проверка.

Решение

$2{,}5^2 = 6{,}25$ , $0{,}7^2 + 2{,}4^2 = 0{,}49 + 5{,}76 = 6{,}25$ . Треугольник прямоугольный, прямой угол лежит против большей стороны 2,5 дм.

Ответ

Да, прямой угол против стороны 2,5 дм

Средний Задача 4

Пифагоровы тройки задаются формулами $$a = 2kmn$$ , $$b = k(m^2 - n^2)$$ , $$c = k(m^2 + n^2)$$ . Найдите гипотенузу $$c$$ при $$k = 1$$ , $$m = 3$$ , $$n = 2$$ и проверьте, что треугольник прямоугольный.

Подсказка

Подставьте числа во все три формулы.

Решение

$a = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ , $$b = 9 - 4 = 5$$ , $$c = 9 + 4 = 13$$ . Проверка — $$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$ .

Ответ

c = 13 (тройка 5, 12, 13)

Сложный Задача 5

Столяр проверяет, прямой ли угол у рамы. Он отмерил от угла 60 см по одной стороне и 80 см по другой. Каким должно быть расстояние между отметками, если угол прямой?

Подсказка

Вспомните египетский треугольник 3, 4, 5.

Решение

Если угол прямой, расстояние между отметками — гипотенуза, $\sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10\,000} = 100$ см. И наоборот, если расстояние ровно 100 см, то $$100^2 = 60^2 + 80^2$$ и по обратной теореме угол прямой.

Ответ

100 см

Сложный Задача 6

Стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

Подсказка

Сначала выясните, прямоугольный ли треугольник, и найдите его площадь.

Решение

$$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$$ , значит, треугольник прямоугольный с катетами 15 см и 20 см. Площадь $S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150$ см². Высота к стороне 25 см равна $h = \dfrac{2S}{25} = \dfrac{300}{25} = 12$ см.

Ответ

12 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите верёвку или нитку, отметьте на ней 12 одинаковых отрезков и натяните треугольником 3, 4, 5 (например, на три канцелярские кнопки). Приложите угол листа бумаги к углу между сторонами 3 и 4 — он окажется прямым. Объясните: $$3^2 + 4^2 = 5^2$$ , и обратная теорема Пифагора гарантирует прямой угол.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем теорема Пифагора отличается от обратной к ней? 2) Против какой стороны лежит прямой угол в треугольнике 8, 15, 17? 3) Почему треугольник 5, 6, 7 не прямоугольный?

На что обратить внимание. Важно, чтобы ребёнок проверял именно большую сторону и не путал названия теорем в обосновании. Полезно выучить несколько пифагоровых троек (3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17): они часто встречаются в задачах и экономят время.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 61	596, 597