Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 623

Дополнительные задачи к главе VII

Задача 1

Условие (кратко)

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её меньшее основание 18 см, высота 9 см, а острый угол 45°.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — равнобедренная трапеция
$$BC = 18$$ см
высота $$BH = 9$$ см
$\angle A = 45^\circ$

Найти

$$S$$

В прямоугольном $\triangle ABH$ $\angle A = 45^\circ$ , значит, $\angle ABH = 45^\circ$ и треугольник равнобедренный: $$AH = BH = 9$$ см.
В равнобедренной трапеции высоты из $$B$$ и $$C$$ отсекают от большего основания равные отрезки: $$AD = 9 + 18 + 9 = 36$$ см.
$S = \dfrac{18 + 36}{2} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$ см².

Ответ

243 см²

Почему так

Угол 45° даёт равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому отрезок большего основания равен высоте.

Подробнее — в теме «Площадь трапеции».

Задача 2

Условие (кратко)

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — равнобедренная трапеция
$$BC = 16$$ см
$$AD = 30$$ см
$AC \perp BD$
$$O$$ — точка пересечения диагоналей

Найти

$$S$$

$\triangle ABD = \triangle DCA$ по трём сторонам ( $$AB = DC$$ , $$AD$$ — общая, $$BD = AC$$ — диагонали равнобедренной трапеции равны). Поэтому $\angle ADB = \angle DAC$ , и $\triangle AOD$ равнобедренный. Так же $\angle CBD = \angle ADB = \angle DAC = \angle BCA$ (накрест лежащие), и $\triangle BOC$ равнобедренный.
Оба треугольника прямоугольные ( $\angle O = 90^\circ$ ). Проведём через $$O$$ прямую, перпендикулярную основаниям: она пересекает $$BC$$ в точке $$K$$ , $$AD$$ — в точке $$L$$ . $$OK$$ и $$OL$$ — высоты, а значит, и медианы равнобедренных треугольников, а медиана к гипотенузе равна её половине: $$OK = 8$$ см, $$OL = 15$$ см.
Высота трапеции $$KL = 8 + 15 = 23$$ см. $S = \dfrac{16 + 30}{2} \cdot 23 = 23 \cdot 23 = 529$ см².

Ответ

529 см²

Почему так

При перпендикулярных диагоналях равнобедренной трапеции высота равна полусумме оснований.

Подробнее — в теме «Площадь трапеции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-7/upr-623/