Задача 1
Условие (кратко)
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD \parallel BC\)
- \(AC \perp BD\)
- высота \(h\)
Найти
- \(S\)
-
Как в задаче 623 б), треугольники \(AOD\) и \(BOC\) (\(O\) — точка пересечения диагоналей) — равнобедренные прямоугольные. Их высоты из \(O\) — медианы к гипотенузам, поэтому равны \(\dfrac{AD}{2}\) и \(\dfrac{BC}{2}\).
-
Эти высоты лежат на одном перпендикуляре к основаниям, вместе они составляют высоту трапеции: \(h = \dfrac{AD + BC}{2}\).
-
\(S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot h = h \cdot h = h^2\).
Ответ
h²
Почему так
Полусумма оснований такой трапеции равна высоте, поэтому площадь — квадрат высоты.
Подробнее — в теме «Площадь трапеции».