Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD² + BC² = AB² + CD².
Решение
Дано: \(ABCD\) — четырёхугольник, \(AC \perp BD\), \(O\) — точка пересечения прямых \(AC\) и \(BD\). Доказать: \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\).
-
Треугольники \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) прямоугольные с прямым углом при \(O\). По теореме Пифагора: \(AB^2 = OA^2 + OB^2\), \(BC^2 = OB^2 + OC^2\), \(CD^2 = OC^2 + OD^2\), \(AD^2 = OA^2 + OD^2\).
-
Складываем: \(AD^2 + BC^2 = OA^2 + OD^2 + OB^2 + OC^2\) и \(AB^2 + CD^2 = OA^2 + OB^2 + OC^2 + OD^2\).
-
Правые части одинаковы, значит, \(AD^2 + BC^2 = AB^2 + CD^2\).
Ответ
Утверждение доказано: обе суммы равны OA² + OB² + OC² + OD²
Почему так
Каждая сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами-частями диагоналей.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».