Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренной трапеции ABCD AD = 17 см, BC = 5 см, AB = 10 см. Прямая через B делит диагональ AC пополам и пересекает AD в точке M. Найдите площадь треугольника BDM.
Решение
Дано
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD = 17\) см
- \(BC = 5\) см
- \(AB = 10\) см
- \(O\) — середина \(AC\)
- прямая \(BO\) пересекает \(AD\) в точке \(M\)
Найти
- \(S_{BDM}\)
-
\(\triangle BOC = \triangle MOA\) по стороне и двум прилежащим углам: \(OC = OA\), \(\angle BOC = \angle MOA\) (вертикальные), \(\angle BCO = \angle MAO\) (накрест лежащие при \(BC \parallel AD\)). Значит, \(AM = BC = 5\) см и \(MD = 17 - 5 = 12\) см.
-
Высота \(BH\) трапеции: \(AH = \dfrac{17 - 5}{2} = 6\) см, по теореме Пифагора \(BH = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\) см.
-
\(BH\) — высота и \(\triangle BDM\): \(S_{BDM} = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48\) см².
Ответ
48 см²
Почему так
Равенство треугольников BOC и MOA даёт AM = BC, а высота трапеции — по теореме Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».