Задача 1
Два квадрата со стороной a имеют общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.
Решение
- квадраты \(ABCD\) и \(AKLN\) со стороной \(a\)
- сторона \(AK\) лежит на диагонали \(AC\)
- площадь общей части
-
По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} > a\), поэтому точка \(K\) лежит внутри диагонали \(AC\), \(KC = a\sqrt{2} - a\).
-
Второй квадрат лежит по одну сторону от \(AC\), например со стороны вершины \(B\). Сторона \(AN \perp AC\) выходит за первый квадрат (угол \(BAC = 45^\circ\)), а сторона \(KL \perp AC\) пересекает \(BC\) в точке \(P\). Общая часть — треугольник \(ABC\) без треугольника \(KPC\).
-
В \(\triangle KPC\) \(\angle K = 90^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\) (диагональ квадрата — биссектриса угла), значит, \(KP = KC\) и \(S_{KPC} = \dfrac{(a\sqrt{2} - a)^2}{2} = \dfrac{a^2(3 - 2\sqrt{2})}{2}\).
-
\(S = S_{ABC} - S_{KPC} = \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{a^2(3 - 2\sqrt{2})}{2} = \dfrac{a^2(2\sqrt{2} - 2)}{2} = (\sqrt{2} - 1)a^2\).
Ответ
Общая часть — половина квадрата без маленького равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом a√2 − a.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».