Задача 1
Условие (кратко)
Точка M внутри треугольника ABC удалена от прямой AB на 6 см, от прямой AC на 2 см. Найдите расстояние от M до BC, если AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = 13\) см
- \(BC = 14\) см
- \(AC = 15\) см
- \(M\) внутри
- расстояния от \(M\) до \(AB\) и \(AC\) равны 6 см и 2 см
Найти
- расстояние \(x\) от \(M\) до \(BC\)
-
По формуле Герона: \(p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21\), \(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\) см².
-
Отрезки \(MA\), \(MB\), \(MC\) делят треугольник на три части: \(S = S_{MAB} + S_{MAC} + S_{MBC} = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 6 + \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 2 + \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot x = 39 + 15 + 7x\).
-
\(54 + 7x = 84\), \(x = \dfrac{30}{7} = 4\dfrac{2}{7}\) см.
Ответ
30/7 см (4 2/7 см)
Почему так
Площадь находим по формуле Герона и приравниваем к сумме площадей трёх треугольников с вершиной M.
Подробнее — в теме «Формула Герона».