Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Площадь треугольника можно найти по трём сторонам, не зная высоты. Сначала считают полупериметр \(p\), потом подставляют в формулу Герона.
Подробное объяснение
Участок земли имеет форму треугольника, и его стороны легко промерить шагами или рулеткой. А вот высоту провести на местности трудно: нужно точно построить прямой угол. Формула Герона позволяет обойтись без высоты — достаточно трёх сторон.
Формула
Пусть стороны треугольника равны \(a\), \(b\), \(c\). Полупериметр — половина периметра:
Тогда площадь
Формулу называют именем древнегреческого математика Герона Александрийского (предположительно I в. н. э.).
Каждая из разностей \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\) положительна. Например, \(p - a = \dfrac{b + c - a}{2} > 0\), потому что по неравенству треугольника \(b + c > a\). Если под корнем получился ноль или отрицательное число, значит, треугольника с такими сторонами не существует или в счёте ошибка.
Откуда берётся формула
Вывод опирается на теорему Пифагора. Опустим высоту \(h\) на сторону \(c\). Она делит треугольник на два прямоугольных, и для каждого из них \(h^2\) выражается по теореме Пифагора. Приравняв эти выражения, находят, где лежит основание высоты, а затем и саму высоту через \(a\), \(b\), \(c\). После преобразований (разность квадратов несколько раз) получается \(h = \dfrac{2\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{c}\). Подставив это в \(S = \dfrac{1}{2}ch\), получаем формулу Герона.
Что ещё можно найти через площадь
Формула Герона — удобный «вход» в задачи, где известны только стороны:
- высоту к любой стороне: \(h_a = \dfrac{2S}{a}\); самая короткая высота проведена к самой длинной стороне;
- радиус вписанной окружности: если соединить её центр с вершинами, треугольник разобьётся на три треугольника с высотой \(r\), поэтому \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c) = pr\) и \(r = \dfrac{S}{p}\).
Когда формула Герона не нужна
Если треугольник прямоугольный, проще взять половину произведения катетов. Если он равнобедренный, высоту к основанию легко найти по теореме Пифагора. Формула Герона нужна, когда треугольник «обычный» и известны только стороны.
Как решать задачи
- Проверьте, что все три стороны в одних единицах.
- Найдите полупериметр \(p\).
- Найдите три разности \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\); все должны быть положительны.
- Перемножьте \(p\) и три разности. Удобно сначала разложить множители на простые и собрать пары — так проще извлечь корень.
- Извлеките корень. Не извлекается нацело — вынесите полный квадрат: \(\sqrt{720} = 12\sqrt{5}\).
- Если нужна высота или радиус вписанной окружности — найдите их через площадь.
Разобранные примеры
Классический треугольник 13, 14, 15
Найдите площадь треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см.
- \(a = 13\) см
- \(b = 14\) см
- \(c = 15\) см
- \(S\)
\(p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21\) см. Разности: \(21 - 13 = 8\), \(21 - 14 = 7\), \(21 - 15 = 6\).
\(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\) см².
Площадь и высота к боковой стороне
Стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 6 см. Найдите его площадь и высоту, проведённую к боковой стороне.
- \(a = b = 5\) см
- \(c = 6\) см
- \(S\)
- высоту \(h\) к стороне 5 см
- \(p = \dfrac{5 + 5 + 6}{2} = 8\) см, \(S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12\) см².
- \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot h\), откуда \(h = \dfrac{2 \cdot 12}{5} = 4{,}8\) см.
Радиус вписанной окружности
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см.
- стороны 10 см
- 17 см
- 21 см
- радиус \(r\) вписанной окружности
- \(p = \dfrac{10 + 17 + 21}{2} = 24\) см. Разности: 14, 7, 3.
- \(S = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84\) см².
- Центр вписанной окружности соединим с вершинами: три треугольника с высотами \(r\) дают \(S = pr\).
- \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{24} = 3{,}5\) см.
Типичные ошибки
Для сторон 3, 4, 5 подставляют \(p = 12\) и получают \(\sqrt{12 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}\) — площадь выходит намного больше 6 и не совпадает с половиной произведения катетов.
\(p\) — половина периметра: \(p = \dfrac{3 + 4 + 5}{2} = 6\), \(S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6\).
Записывают \(S = p(p - a)(p - b)(p - c)\). Для треугольника 13, 14, 15 получается 7056 вместо 84 — в 84 раза больше.
Произведение — это квадрат площади. Последний шаг — всегда корень.
\(24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3\) легко посчитать неверно, а потом долго подбирать корень из случайного числа.
Разложите на множители и соберите пары: \(24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3 = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2\), корень — \(2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен полупериметр треугольника со сторонами 5, 6 и 7?
Показать ответ
Ответ: Б) 9
\(p = \dfrac{5 + 6 + 7}{2} = 9\).
-
Найдите по формуле Герона площадь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
Показать ответ
Ответ: 6
\(p = 6\), \(S = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6\).
-
Какая запись — формула Герона (\(p\) — полупериметр)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\)
Площадь равна корню из произведения полупериметра и трёх разностей \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\).
-
Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Формула Герона позволяет найти площадь любого треугольника по трём сторонам; В) Каждая из разностей p − a, p − b, p − c положительна
\(p\) — половина периметра; разности положительны по неравенству треугольника; высота не нужна — в этом и смысл формулы.
-
Найдите площадь треугольника со сторонами 5, 5 и 8.
Показать ответ
Ответ: 12
\(p = 9\), \(S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{144} = 12\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите площадь треугольника со сторонами 6 см, 8 см и 10 см по формуле Герона.
Подсказка
Сначала найдите полупериметр \(p\).
Решение
\(p = \dfrac{6 + 8 + 10}{2} = 12\) см. \(S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24\) см². Проверка — треугольник прямоугольный, \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\) см².
Ответ
Найдите по формуле Герона площадь равностороннего треугольника со стороной 4 см.
Подсказка
Все три множителя \(p - a\) одинаковы.
Решение
\(p = \dfrac{4 \cdot 3}{2} = 6\) см, \(p - a = 2\) см. \(S = \sqrt{6 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) см².
Ответ
Найдите площадь треугольника со сторонами 7 см, 8 см и 9 см.
Подсказка
Под корнем получится число, из которого можно вынести полный квадрат.
Решение
\(p = \dfrac{7 + 8 + 9}{2} = 12\) см. \(S = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5}\) см².
Ответ
Стороны треугольника равны 25 см, 29 см и 36 см. Найдите высоту, проведённую к стороне 36 см.
Подсказка
Найдите площадь по формуле Герона, а затем высоту из \(S = \dfrac{1}{2}ah\).
Решение
\(p = \dfrac{25 + 29 + 36}{2} = 45\) см. \(S = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{129\,600} = 360\) см². \(h = \dfrac{2S}{36} = \dfrac{720}{36} = 20\) см.
Ответ
Стороны треугольника равны 17 см, 25 см и 28 см. Найдите его меньшую высоту.
Подсказка
Меньшая высота проведена к большей стороне.
Решение
\(p = \dfrac{17 + 25 + 28}{2} = 35\) см. \(S = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{44\,100} = 210\) см². Чем длиннее сторона, тем короче высота к ней, поэтому меньшая высота — к стороне 28 см, \(h = \dfrac{2 \cdot 210}{28} = 15\) см.
Ответ
Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см.
Подсказка
Соедините центр окружности с вершинами — площадь треугольника разобьётся на три части с высотой \(r\), поэтому \(S = pr\).
Решение
\(p = 21\) см, \(S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\) см². Три треугольника с вершиной в центре окружности имеют высоты \(r\), поэтому \(S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c) = pr\). Отсюда \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4\) см.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте треугольник 3, 4, 5 на листе в клетку. Площадь по клеткам — половина прямоугольника 3 × 4, то есть 6. Теперь посчитайте по формуле Герона: \(p = 6\), \(\sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6\) — совпало. Объясните, что формула нужна, когда высоту провести неудобно, а стороны измерить легко.
Вопросы для проверки понимания: 1) Что такое полупериметр и как его найти? 2) Почему все разности \(p - a\), \(p - b\), \(p - c\) положительны? 3) Как через площадь найти высоту треугольника?
На что обратить внимание. Самые частые промахи — взять периметр вместо полупериметра и забыть корень. Попросите ребёнка проверять себя на прямоугольном треугольнике, где площадь известна заранее. Полезная привычка — раскладывать подкоренное число на множители.