Задача 1
В ромбе высота, равная 4√2/6 см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.
Решение
- ромб \(ABCD\)
- высота \(h = \dfrac{4\sqrt{2}}{6} = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\) см
- \(h = \dfrac{2}{3}AC\)
- \(AC\) — большая диагональ
- \(S\)
-
\(AC = \dfrac{3h}{2} = \sqrt{2}\) см. Половина диагонали \(AO = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) см. Обозначим \(BO = q\).
-
Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, поэтому \(S = 4 \cdot \dfrac{AO \cdot BO}{2} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot q = \sqrt{2}\,q\).
-
По теореме Пифагора сторона \(AB = \sqrt{AO^2 + q^2} = \sqrt{\dfrac{1}{2} + q^2}\). Ромб — параллелограмм, поэтому \(S = AB \cdot h\).
-
\(\sqrt{2}\,q = \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{\dfrac{1}{2} + q^2}\), откуда \(q = \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{1}{2} + q^2}\), \(9q^2 = 2 + 4q^2\), \(q^2 = \dfrac{2}{5}\), \(q = \sqrt{\dfrac{2}{5}}\) (проверка: \(q < AO\), диагональ \(AC\) действительно большая).
-
\(S = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{2}{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) см².
Ответ
Площадь ромба записываем двумя способами — через диагонали и через сторону с высотой, сторону выражаем по теореме Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».