Задача 1
Условие (кратко)
Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Решение
Дано
- \(ABCD\)
- \(AC = 16\) см
- \(BD = 20\) см
- диагонали пересекаются в точке \(O\) под углом \(30^\circ\)
Найти
- \(S\)
-
Проведём перпендикуляры \(BK\) и \(DL\) к прямой \(AC\). В прямоугольном \(\triangle BKO\) острый угол при \(O\) равен \(30^\circ\), а катет против него равен половине гипотенузы: \(BK = \dfrac{OB}{2}\). Так же \(DL = \dfrac{OD}{2}\).
-
Диагональ \(AC\) делит четырёхугольник на треугольники \(ABC\) и \(ADC\): \(S = \dfrac{1}{2}AC \cdot BK + \dfrac{1}{2}AC \cdot DL = \dfrac{1}{2}AC \cdot \dfrac{OB + OD}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot 16 \cdot \dfrac{20}{2} = 80\) см².
Ответ
80 см²
Почему так
Расстояния от концов одной диагонали до другой — катеты против угла 30°, они равны половинам отрезков диагонали.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».