Задача 1
Условие (кратко)
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = AC\)
- \(AD \perp BC\)
- \(AD = 8\) см
- \(DM\) — медиана \(\triangle ADC\)
- \(DM = 8\) см
Найти
- \(S_{ABC}\)
-
\(\triangle ADC\) прямоугольный (\(\angle D = 90^\circ\)), а \(DM\) — медиана, проведённая к гипотенузе \(AC\). Она равна половине гипотенузы: \(AC = 2 \cdot 8 = 16\) см.
-
По теореме Пифагора \(DC = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}\) см.
-
Высота равнобедренного треугольника — медиана: \(BC = 2DC = 16\sqrt{3}\) см.
-
\(S = \dfrac{1}{2} \cdot 16\sqrt{3} \cdot 8 = 64\sqrt{3}\) см².
Ответ
64√3 см²
Почему так
Медиана к гипотенузе равна её половине, дальше — теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».