Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VII, задание 636

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольнике ABCD AB = 6 см, BC = 8 см. Прямая через C, перпендикулярная BD, пересекает AD в точке M, а BD — в точке K. Найдите площадь четырёхугольника ABKM.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — прямоугольник
$$AB = 6$$ см
$$BC = 8$$ см
$CM \perp BD$
$M \in AD$
$K = CM \cap BD$

Найти

$S_{ABKM}$

$S_{ABKM} = S_{ABD} - S_{MKD}$ , $S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².
$BD = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. $$CK$$ — высота прямоугольного $\triangle BCD$ : $CK = \dfrac{BC \cdot CD}{BD} = \dfrac{8 \cdot 6}{10} = 4{,}8$ см.
В прямоугольном $\triangle CKD$ ( $$CD = 6$$ см): $DK = \sqrt{36 - 23{,}04} = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6$ см.
Пусть $$KM = y$$ . В прямоугольном $\triangle MDC$ ( $\angle D = 90^\circ$ ) $$CM^2 = CD^2 + MD^2$$ , а $$MD^2 = DK^2 + KM^2$$ . Значит, $(4{,}8 + y)^2 = 36 + 12{,}96 + y^2$ , откуда $$23{,}04 + 9{,}6y = 48{,}96$$ , $$y = 2{,}7$$ см.
$S_{MKD} = \dfrac{1}{2}DK \cdot KM = \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}6 \cdot 2{,}7 = 4{,}86$ см².
$S_{ABKM} = 24 - 4{,}86 = 19{,}14$ см².

Ответ

19,14 см²

Почему так

Искомая фигура — половина прямоугольника без прямоугольного треугольника MKD, стороны которого находим по теореме Пифагора.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).