Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 637

Дополнительные задачи к главе VII

Задача 1

Условие (кратко)

В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если угол A острый, то BC² = AB² + AC² − 2AC · AH.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle A$ острый, $BH \perp AC$ . Доказать: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$ .

Угол $$A$$ острый, поэтому точка $$H$$ лежит на луче $$AC$$ , и $$HC = |AC - AH|$$ (если $$H$$ между $$A$$ и $$C$$ или за точкой $$C$$ ; при $$H = C$$ равенство тоже верно).
Из прямоугольного $\triangle ABH$ по теореме Пифагора $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ .
Из прямоугольного $\triangle BHC$ : $$BC^2 = BH^2 + HC^2 = AB^2 - AH^2 + (AC - AH)^2$$ .
$(AC - AH)^2 = AC^2 - 2AC \cdot AH + AH^2$ , поэтому $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AC \cdot AH$ .

Ответ

Утверждение доказано: BC² = AB² + AC² − 2AC · AH

Почему так

Дважды применяем теорему Пифагора — к треугольникам ABH и BHC с общим катетом BH.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задача 2

Условие (кратко)

В треугольнике ABC проведена высота BH. Докажите, что если угол A тупой, то BC² = AB² + AC² + 2AC · AH.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $\angle A$ тупой, $BH \perp AC$ . Доказать: $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$ .

Угол $$A$$ тупой, поэтому основание высоты $$H$$ лежит на продолжении $$CA$$ за точку $$A$$ , и $$HC = HA + AC$$ .
Из прямоугольного $\triangle ABH$ : $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ .
Из прямоугольного $\triangle BHC$ : $BC^2 = BH^2 + HC^2 = AB^2 - AH^2 + (AH + AC)^2 = AB^2 - AH^2 + AH^2 + 2AC \cdot AH + AC^2$ .
Итак, $BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2AC \cdot AH$ .

Ответ

Утверждение доказано: BC² = AB² + AC² + 2AC · AH

Почему так

Основание высоты лежит вне стороны AC, поэтому HC = AH + AC, а дальше — теорема Пифагора дважды.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-7/upr-637/