а) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 218) изображён треугольник с вершинами в узлах (0; 0), (8; 0), (0; 6) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Треугольник прямоугольный: катеты идут по линиям сетки и равны 8 см и 6 см.
\(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) см².
Ответ
24 см²
Почему так
Площадь прямоугольного треугольника — половина произведения катетов, катеты считаем по клеткам.
б) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 218) изображён треугольник с вершинами в узлах (0; 0), (8; 0), (5; 6) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Основание лежит на линии сетки и равно 8 см, высота к нему — расстояние от верхней вершины до этой линии — 6 см.
\(S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24\) см².
Ответ
24 см²
Почему так
Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, обе длины считаем по клеткам.
в) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 218) изображён треугольник с вершинами в узлах (0; 0), (3; 0), (6; 6) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Основание лежит на линии сетки и равно 3 см. Высота к нему проводится к продолжению основания и равна 6 см (треугольник тупоугольный).
\(S = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\) см².
Ответ
9 см²
Почему так
У тупоугольного треугольника высота падает на продолжение основания, но формула площади та же.
г) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 218) изображён треугольник с вершинами в узлах (0; 0), (5; 1), (6; 6) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Ни одна сторона не идёт по линиям сетки, поэтому достроим треугольник до квадрата \(6 \times 6\) со сторонами по линиям сетки и вычтем лишнее.
Площадь квадрата \(6 \cdot 6 = 36\) см².
Лишние части: прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6 — 18 см²; два прямоугольных треугольника с катетами 5 и 1 — по 2,5 см²; квадратик \(1 \times 1\) — 1 см². Всего \(18 + 2{,}5 + 2{,}5 + 1 = 24\) см².
\(S = 36 - 24 = 12\) см².
Ответ
12 см²
Почему так
Достраиваем фигуру до прямоугольника по линиям сетки и вычитаем прямоугольные треугольники.
д) На клетчатой бумаге (клетка 1 см, рис. 218) изображён треугольник с вершинами в узлах (0; 0), (8; 1), (6; 6) — координаты в клетках. Найдите его площадь.
Решение
Достроим треугольник до прямоугольника \(8 \times 6\) со сторонами по линиям сетки.
Площадь прямоугольника \(8 \cdot 6 = 48\) см².
Лишние прямоугольные треугольники: с катетами 6 и 6 — 18 см², с катетами 2 и 5 — 5 см², с катетами 8 и 1 — 4 см². Всего 27 см².
\(S = 48 - 27 = 21\) см².
Ответ
21 см²
Почему так
Площадь находим вычитанием прямоугольных треугольников из описанного прямоугольника.
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).