Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 711

Условие (кратко)

Диагональ AC трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что AC² = a · b, где a и b — основания трапеции.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — трапеция, $$AD = a$$ и $$BC = b$$ — основания, $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$ подобны. Доказать: $$AC^2 = ab$$ .

$AD \parallel BC$ , $$AC$$ — секущая, поэтому $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие). Обозначим этот угол $\varphi$ .
У подобных треугольников углы одинаковые. Угол $\varphi$ есть в обоих, значит, оставшиеся пары углов $\{\angle BAC, \angle B\}$ и $\{\angle ACD, \angle D\}$ тоже совпадают.
Если бы $\angle BAC = \angle ACD$ , то эти накрест лежащие углы при секущей $$AC$$ дали бы $AB \parallel CD$ , и $$ABCD$$ была бы параллелограммом, а не трапецией. Значит, $\angle BAC = \angle D$ и $\angle B = \angle ACD$ .
Итак, вершины соответствуют так: $C \to A$ , $A \to D$ , $B \to C$ , то есть $\triangle CAB \sim \triangle ADC$ . Сходственные стороны пропорциональны: $\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{CA}{AD}$ .
Отсюда $AC^2 = BC \cdot AD = ab$ .

Ответ

Утверждение доказано: AC² = ab

Почему так

Из равенства накрест лежащих углов находим, какие вершины подобных треугольников соответствуют друг другу, и записываем пропорцию сторон.

Задание 711