Какие утверждения верны?

У подобных треугольников соответственные углы равны

Два равных треугольника подобны с коэффициентом 1

Подобные треугольники всегда равны

AD — биссектриса треугольника ABC. Какое равенство верно?

\dfrac{BD}{AC} = \dfrac{DC}{AB}

Подобные треугольники — 8 класс, геометрия: объяснение и примеры

Коротко о главном

Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Отношение сходственных сторон называют коэффициентом подобия $$k$$ .

\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1: \quad \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1,\quad \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = k

Подробное объяснение

Сфотографируйте треугольный дорожный знак, а потом увеличьте снимок на экране. Знак на экране стал больше, но форма та же: углы не изменились, а все стороны выросли в одно и то же число раз. Такие фигуры в геометрии называют подобными.

Отношение отрезков и пропорциональные отрезки

Отношение отрезков $$AB$$ и $$CD$$ — это отношение их длин, $\dfrac{AB}{CD}$ . Длины берут в одних единицах; от выбора единиц отношение не зависит: 3 см к 6 см и 30 мм к 60 мм — одно и то же $\dfrac{1}{2}$ .

Отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пропорциональны отрезкам $$A_1B_1$$ и $$C_1D_1$$ , если

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}.

Например, отрезки 4 см и 6 см пропорциональны отрезкам 2 см и 3 см: оба отношения равны 2. Так же определяют пропорциональность трёх и более отрезков — все отношения должны быть равны.

Подобные треугольники

Пусть у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ углы соответственно равны: $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ , $\angle C = \angle C_1$ . Тогда стороны $$AB$$ и $$A_1B_1$$ , $$BC$$ и $$B_1C_1$$ , $$CA$$ и $$C_1A_1$$ называют сходственными. Проще запомнить так: сходственные стороны лежат против равных углов.

Треугольники подобны, если углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. Записывают $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ — буквы ставят в порядке соответствия вершин. Число $$k$$ , равное отношению сходственных сторон, — коэффициент подобия.

Два треугольника одной формы, ABC меньше A1B1C1. Равные углы отмечены одинаковым числом дуг; под ними равенство отношений сходственных сторон, равных k. — Углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Что полезно знать:

равные треугольники подобны, у них $$k = 1$$ ;
если $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ с коэффициентом $$k$$ , то $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом $\dfrac{1}{k}$ ;
периметры подобных треугольников относятся как $$k$$ : каждая сторона умножается на $$k$$ , значит, и их сумма.

Проверять все шесть равенств не обязательно: в следующем параграфе будут признаки подобия, где хватает части условий. Пока пользуемся только определением.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если $$AD$$ — биссектриса треугольника $$ABC$$ , то

\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}.

Треугольник ABC со сторонами AB = 4 см и AC = 6 см. Биссектриса AD делит угол A пополам, а сторону BC — на 2 и 3 части. — Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, BD : DC = AB : AC.

Почему так. Треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ имеют общую высоту из вершины $$A$$ , поэтому их площади относятся как основания $$BD : DC$$ . С другой стороны, у них равные углы при вершине $$A$$ , и их площади относятся как $(AB \cdot AD) : (AC \cdot AD) = AB : AC$ . Значит, $$BD : DC = AB : AC$$ .

Больший отрезок всегда прилежит к большей стороне. Если $$AB = AC$$ , биссектриса делит сторону пополам — это уже знакомая медиана равнобедренного треугольника.

Как решать задачи

Выразите все длины в одних единицах.
Чтобы проверить подобие по определению, найдите недостающие углы (сумма углов — $180^\circ$ ) и сопоставьте вершины с равными углами.
Выпишите сходственные стороны — они лежат против равных углов — и сравните три отношения.
Если известен $$k$$ , умножьте на него стороны второго треугольника. Если известны периметры, $$k$$ равен их отношению.
В задаче на биссектрису запишите $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ , обозначьте отрезки через $$x$$ ( $$2x$$ и $$3x$$ ) и составьте уравнение по известной сумме.

Разобранные примеры

База

Стороны подобного треугольника

Условие

Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, $$AB = 6$$ см, $$BC = 8$$ см, $$CA = 10$$ см, а сходственная стороне $$AB$$ сторона $$A_1B_1 = 9$$ см. Найдите $$B_1C_1$$ и $$C_1A_1$$ .

Дано

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$
$$AB = 6$$ см
$$BC = 8$$ см
$$CA = 10$$ см
$$A_1B_1 = 9$$ см

Найти

$$B_1C_1$$
$$C_1A_1$$

Решение

Коэффициент $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ .
$B_1C_1 = 1{,}5 \cdot 8 = 12$ см, $C_1A_1 = 1{,}5 \cdot 10 = 15$ см.

Ответ: B₁C₁ = 12 см, C₁A₁ = 15 см

Средний

Отрезки, на которые делит сторону биссектриса

Условие

В треугольнике $$ABC$$ стороны $$AB = 10$$ см, $$AC = 15$$ см, $$BC = 15$$ см. Биссектриса $$AD$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$D$$ . Найдите $$BD$$ и $$DC$$ .

Дано

$$AB = 10$$ см
$$AC = 15$$ см
$$BC = 15$$ см
$$AD$$ — биссектриса

Найти

$$BD$$
$$DC$$

Решение

По свойству биссектрисы $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ .
Пусть $$BD = 2x$$ , $$DC = 3x$$ . Тогда $$5x = 15$$ , $$x = 3$$ .
$$BD = 6$$ см, $$DC = 9$$ см.

Ответ: BD = 6 см, DC = 9 см

Сложный

Стороны по отношению и разности

Условие

Стороны треугольника $$ABC$$ относятся как $$4 : 5 : 6$$ . Треугольник $$A_1B_1C_1$$ подобен ему, и его наибольшая сторона на 6 см больше наименьшей. Найдите периметр треугольника $$A_1B_1C_1$$ .

Дано

$$AB : BC : CA = 4 : 5 : 6$$
$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$
наибольшая сторона $$A_1B_1C_1$$ больше наименьшей на 6 см

Найти

$P_{A_1B_1C_1}$

Решение

Стороны подобного треугольника пропорциональны сходственным, поэтому относятся так же: $$4x$$ , $$5x$$ , $$6x$$ .
Наибольшая минус наименьшая: $$6x - 4x = 2x = 6$$ , $$x = 3$$ .
Стороны: 12 см, 15 см, 18 см, периметр $$12 + 15 + 18 = 45$$ см.

Ответ: 45 см

Типичные ошибки

Делят стороны не в том порядке

Почему неверно

Сходственные стороны берут по порядку букв в названии или по длине, а не по равным углам. Например, у $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ равны углы $\angle A = \angle D$ , $\angle B = \angle F$ , $\angle C = \angle E$ , а ученик делит $$AB$$ на $$DE$$ . Отношения получаются разными, и подобные треугольники «оказываются» неподобными.

Как правильно

Сначала сопоставьте вершины с равными углами и запишите подобие в этом порядке: $\triangle ABC \sim \triangle DFE$ . Сходственные стороны — пары букв на одних и тех же местах: $$AB$$ и $$DF$$ , $$BC$$ и $$FE$$ , $$CA$$ и $$ED$$ .

Путают, к какой стороне прилежит отрезок при биссектрисе

Почему неверно

Пишут $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AC}{AB}$ и получают, что больший отрезок лежит у меньшей стороны. Это противоречит свойству: чем длиннее прилежащая сторона, тем длиннее отрезок.

Как правильно

Отрезок $$BD$$ касается вершины $$B$$ — он прилежит к стороне $$AB$$ ; отрезок $$DC$$ — к стороне $$AC$$ . Поэтому $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ . Проверка: больший отрезок — у большей стороны.

Сравнивают длины в разных единицах

Почему неверно

Для сторон 1,4 м и 56 см пишут отношение $\dfrac{1{,}4}{56}$ и получают $$0{,}025$$ вместо 2,5.

Как правильно

Переведите длины в одни единицы: $$1{,}4$$ м $$= 140$$ см, $\dfrac{140}{56} = 2{,}5$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите отношение отрезков AB и CD, если AB = 24 см, а CD = 4 дм.

Подсказка

Сначала выразите длины в одних единицах.

Решение

$$CD = 4$$ дм $$= 40$$ см, поэтому $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5}$ .

Ответ

3/5

База Задача 2

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны с коэффициентом 3, то есть AB/A₁B₁ = 3. Стороны второго треугольника A₁B₁ = 2 см, B₁C₁ = 4 см, C₁A₁ = 5 см. Найдите стороны треугольника ABC.

Подсказка

Каждую сторону второго треугольника умножьте на коэффициент подобия.

Решение

$AB = 3 \cdot 2 = 6$ см, $BC = 3 \cdot 4 = 12$ см, $CA = 3 \cdot 5 = 15$ см.

Ответ

AB = 6 см, BC = 12 см, CA = 15 см

Средний Задача 3

В треугольнике ABC стороны AB = 8 см, AC = 12 см, BC = 10 см. Биссектриса AD делит сторону BC на два отрезка. Найдите BD и DC.

Подсказка

Биссектриса делит сторону в том же отношении, в каком относятся прилежащие стороны, AB : AC.

Решение

$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ . Пусть $$BD = 2x$$ , $$DC = 3x$$ , тогда $$5x = 10$$ , $$x = 2$$ ; $$BD = 4$$ см, $$DC = 6$$ см.

Ответ

BD = 4 см, DC = 6 см

Средний Задача 4

Периметры двух подобных треугольников равны 18 см и 27 см. Одна из сторон первого треугольника равна 8 см. Найдите сходственную ей сторону второго треугольника.

Подсказка

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение

$k = \dfrac{27}{18} = 1{,}5$ , поэтому сходственная сторона второго треугольника равна $8 \cdot 1{,}5 = 12$ см.

Ответ

12 см

Сложный Задача 5

Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BD = 4 см и DC = 6 см. Периметр треугольника равен 25 см. Найдите стороны AB и AC.

Подсказка

Найдите AB + AC из периметра, а отношение AB : AC — по свойству биссектрисы.

Решение

$$BC = 10$$ см, поэтому $$AB + AC = 25 - 10 = 15$$ см. По свойству биссектрисы $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{DC} = \dfrac{2}{3}$ . Пусть $$AB = 2x$$ , $$AC = 3x$$ : $$5x = 15$$ , $$x = 3$$ ; $$AB = 6$$ см, $$AC = 9$$ см.

Ответ

AB = 6 см, AC = 9 см

Сложный Задача 6

Верно ли, что любые два равносторонних треугольника подобны? Объясните по определению.

Подсказка

Проверьте оба условия определения — углы и отношения сходственных сторон.

Решение

Пусть стороны треугольников равны $$a$$ и $$b$$ . Все углы каждого из них равны $60^\circ$ , значит, углы соответственно равны. Все три отношения сходственных сторон одинаковы, $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a}{b}$ . Оба условия определения выполнены, треугольники подобны с коэффициентом $\dfrac{a}{b}$ .

Ответ

Да, верно

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги треугольник и сфотографируйте его, а потом распечатайте или увеличьте снимок. Измерьте стороны обоих треугольников линейкой и поделите сходственные: отношения окажутся почти одинаковыми, а углы транспортиром — равными. Это и есть подобие: та же форма, другой масштаб. Для биссектрисы: начертите треугольник со сторонами 4 и 6 см у одной вершины, проведите биссектрису транспортиром и измерьте отрезки на третьей стороне — они относятся примерно как 2 : 3.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какие стороны называют сходственными? 2) Как меняется периметр, если все стороны треугольника увеличить в 3 раза? 3) В каком отношении биссектриса делит сторону, если прилежащие стороны равны 5 и 10?

На что обратить внимание. Главная трудность — правильно сопоставить вершины: сходственные стороны лежат против равных углов. Признаки подобия ребёнок пройдёт в следующем параграфе; пока подобие доказывают только по определению — углы и все три отношения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 63	640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 64	648, 649, 654, 655, 656