Задача 1
Условие (кратко)
Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке O. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, MP = 7 см.
Решение
Дано
- \(\triangle MNP\)
- \(MD\) и \(NK\) — биссектрисы
- \(MD \cap NK = O\)
- \(MN = 5\) см
- \(NP = 3\) см
- \(MP = 7\) см
Найти
- \(OK : ON\)
-
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам (задача 642). Для биссектрисы \(NK\): \(\dfrac{MK}{KP} = \dfrac{MN}{NP} = \dfrac{5}{3}\).
-
\(MK = \dfrac{5}{8} \cdot MP = \dfrac{5}{8} \cdot 7 = \dfrac{35}{8}\) см.
-
В треугольнике \(MNK\) отрезок \(MO\) лежит на биссектрисе угла \(M\), то есть \(MO\) — биссектриса \(\triangle MNK\). По тому же свойству \(\dfrac{OK}{ON} = \dfrac{MK}{MN} = \dfrac{35}{8} : 5 = \dfrac{7}{8}\).
Ответ
OK : ON = 7 : 8
Почему так
Свойство биссектрисы применяем дважды — в треугольнике MNP и в треугольнике MNK.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».