Задача 1
Условие (кратко)
Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, высота к основанию равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
Решение
Дано
- \(\triangle ABC\)
- \(AB = BC\)
- \(AC : AB = 4 : 3\)
- \(BH\) — высота
- \(BH = 30\) см
- \(AO\) — биссектриса \(\angle A\)
- \(O\) лежит на \(BH\)
Найти
- \(BO\)
- \(OH\)
-
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой: \(AH = \dfrac{AC}{2}\). Пусть \(AB = 3t\), тогда \(AC = 4t\), \(AH = 2t\).
-
В треугольнике \(ABH\) отрезок \(AO\) — биссектриса, поэтому (задача 642) \(\dfrac{BO}{OH} = \dfrac{AB}{AH} = \dfrac{3t}{2t} = \dfrac{3}{2}\).
-
\(BO = \dfrac{3}{5} \cdot 30 = 18\) см, \(OH = \dfrac{2}{5} \cdot 30 = 12\) см.
Ответ
18 см и 12 см (считая от вершины)
Почему так
Биссектриса угла при основании — биссектриса и в прямоугольном треугольнике ABH, а она делит катет BH пропорционально AB и AH.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».