Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 714

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) На продолжении боковой стороны OB равнобедренного треугольника AOB с основанием AB взята точка C (B между O и C). Отрезок AC пересекает биссектрису угла AOB в точке M. Докажите, что AM < MC.

Решение

Дано: $\triangle AOB$ , $$OA = OB$$ , точка $$C$$ на продолжении $$OB$$ за точку $$B$$ , $$OM$$ — биссектриса $\angle AOB$ , $$M$$ лежит на $$AC$$ . Доказать: $$AM < MC$$ .

Точка $$C$$ лежит на луче $$OB$$ , поэтому $\angle AOC = \angle AOB$ , и $$OM$$ — биссектриса треугольника $$AOC$$ .
По свойству биссектрисы (задача 642) $\dfrac{AM}{MC} = \dfrac{OA}{OC}$ .
$$OC = OB + BC > OB = OA$$ , значит, $\dfrac{OA}{OC} < 1$ .
Тогда и $\dfrac{AM}{MC} < 1$ , то есть $$AM < MC$$ .

Ответ

Утверждение доказано: AM/MC = OA/OC < 1

Почему так

OM — биссектриса треугольника AOC, а она делит AC в отношении OA : OC, где OC длиннее OA.

Подробнее — в теме «Подобные треугольники».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).