Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 715

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) На стороне BC треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB = DC/AC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$D$$ лежит на $$BC$$ , $\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}$ . Доказать: $$AD$$ — биссектриса.

Из условия $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$ .
Проведём биссектрису $$AE$$ угла $$A$$ ( $$E$$ на $$BC$$ ). По свойству биссектрисы (задача 642) $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}$ .
Обе точки $$D$$ и $$E$$ лежат на отрезке $$BC$$ и делят его в одном и том же отношении. Тогда $BD = \dfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC$ и $BE = \dfrac{AB}{AB + AC} \cdot BC$ , то есть $$BD = BE$$ .
Точки $$D$$ и $$E$$ лежат на одном луче $$BC$$ на одинаковом расстоянии от $$B$$ , значит, совпадают. Поэтому $$AD$$ — биссектриса.

Ответ

Утверждение доказано: точка D совпадает с основанием биссектрисы

Почему так

Обратное свойство биссектрисы — точка, делящая отрезок в данном отношении, единственна.

Подробнее — в теме «Подобные треугольники».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).