Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 717

Задача 1

Условие (кратко)

(Задание для работы в группе.) Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне BC, концы которого лежат на сторонах AB и AC.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$AM$$ — медиана, $$P$$ на $$AB$$ , $$Q$$ на $$AC$$ , $PQ \parallel BC$ , $AM \cap PQ = R$ . Доказать: $$PR = RQ$$ .

$PR \parallel BM$ , поэтому $\angle APR = \angle ABM$ (соответственные), $\angle A$ общий. По первому признаку $\triangle APR \sim \triangle ABM$ , откуда $\dfrac{PR}{BM} = \dfrac{AR}{AM}$ .
Так же $\triangle AQR \sim \triangle ACM$ , откуда $\dfrac{RQ}{MC} = \dfrac{AR}{AM}$ .
Правые части равны, значит, $\dfrac{PR}{BM} = \dfrac{RQ}{MC}$ . Но $$BM = MC$$ , поэтому $$PR = RQ$$ .

Ответ

Утверждение доказано: PR = RQ

Почему так

Две пары подобных треугольников с общим отношением AR : AM, а половинки BM и MC равны.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).