Сколько пар равных углов достаточно найти у двух треугольников, чтобы утверждать, что они подобны?

Три, и ещё проверить стороны

Углы ничего не решают, нужны стороны

Какие треугольники обязательно подобны?

Два равносторонних треугольника

Два прямоугольных треугольника с равным острым углом

Два равнобедренных треугольника с равными углами при вершине

Два равнобедренных треугольника

В треугольнике ABC \angle A = 50^\circ, \angle B = 60^\circ, а в треугольнике DEF \angle D = 60^\circ, \angle E = 70^\circ. Подобны ли они?

Да, потому что третий угол треугольника ABC равен 70°

Нет, названы разные углы

Да, любые два треугольника с углом 60° подобны

Ответить нельзя без длин сторон

Первый признак подобия треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Подобные треугольники

Коротко о главном

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Стороны при этом проверять не нужно — они окажутся пропорциональными сами.

\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Сфотографируйте треугольник и распечатайте снимок в двух размерах. Углы на обеих картинках одинаковые, а стороны разные, но во сколько раз увеличилась одна сторона, во столько же — и все остальные. Получается, форма треугольника определяется его углами. Это и есть первый признак подобия.

Что говорит теорема

По определению треугольники подобны, если углы у них соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны. Проверять всё это долго. Первый признак сильно сокращает работу: достаточно найти два равных угла.

Два треугольника ABC и A1B1C1 разного размера. Углы A и A1 отмечены одной дугой, углы B и B1 — двойной дугой, то есть равны. — Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.

Почему двух хватает? Сумма углов треугольника $180^\circ$ , поэтому третьи углы тоже равны: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = \angle C_1$ .

Почему стороны пропорциональны

Доказательство опирается на теорему об отношении площадей треугольников с равным углом: площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Для угла $$A$$ и для угла $$C$$ получаем

\frac{S}{S_1} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} = \frac{CA \cdot CB}{C_1A_1 \cdot C_1B_1}.

Сократив общий множитель $\dfrac{AC}{A_1C_1}$ , получаем $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1}$ . Так же, через углы $$A$$ и $$B$$ , доказывается равенство остальных отношений.

Где искать равные углы

Чаще всего равные углы дают:

общий угол — два треугольника с одной вершиной;
вертикальные углы — при пересечении двух прямых;
параллельные прямые — соответственные и накрест лежащие углы. Отрезок, параллельный стороне треугольника, всегда отсекает треугольник, подобный данному;
прямые углы — два прямоугольных треугольника подобны, если у них равен один острый угол.

Сходственные стороны

Сходственные стороны лежат против равных углов. Удобно записывать подобие так, чтобы равные углы стояли на одинаковых местах: если $\angle A = \angle M$ , $\angle B = \angle N$ , пишем $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ . Тогда пропорцию можно читать прямо по записи: $\dfrac{AB}{MN} = \dfrac{BC}{NK} = \dfrac{AC}{MK}$ .

Как решать задачи

Найдите на чертеже два треугольника, связанных с искомым отрезком.
Укажите две пары равных углов и объясните, почему они равны (общий, вертикальные, при параллельных прямых).
Запишите подобие, соблюдая порядок вершин.
Составьте пропорцию из сходственных сторон: в одну дробь — известные стороны, в другую — искомую и её пару.
Решите пропорцию и проверьте: в большем треугольнике сторона должна получиться больше.

Разобранные примеры

База

Подобны ли треугольники

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $\angle A = 35^\circ$ , $\angle B = 105^\circ$ . В треугольнике $$PQR$$ $\angle P = 40^\circ$ , $\angle Q = 105^\circ$ . Подобны ли треугольники? Какие вершины соответствуют друг другу?

Дано

$\angle A = 35^\circ$
$\angle B = 105^\circ$
$\angle P = 40^\circ$
$\angle Q = 105^\circ$

Найти

подобны ли $\triangle ABC$ и $\triangle PQR$

Решение

$\angle C = 180^\circ - 35^\circ - 105^\circ = 40^\circ$ , $\angle R = 180^\circ - 40^\circ - 105^\circ = 35^\circ$ .
$\angle A = \angle R = 35^\circ$ , $\angle B = \angle Q = 105^\circ$ , $\angle C = \angle P = 40^\circ$ .
Два угла равны — по первому признаку треугольники подобны. Записываем вершины в соответствующем порядке: $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ .

Ответ: Да, △ABC ∼ △RQP

Средний

Высота башни по тени

Условие

Палка длиной 1,2 м, поставленная вертикально, отбрасывает тень 0,8 м. Тень башни в тот же момент — 30 м. Найдите высоту башни.

Дано

палка $$h = 1{,}2$$ м
её тень $$0{,}8$$ м
тень башни $$30$$ м

Найти

высоту башни $$H$$

Решение

Палка и башня вертикальны, лучи солнца параллельны. Получаются два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом — углом, под которым падают лучи. По первому признаку они подобны, поэтому

\frac{H}{1{,}2} = \frac{30}{0{,}8} = 37{,}5, \quad H = 1{,}2 \cdot 37{,}5 = 45 \text{ м}.

Ответ: 45 м

Сложный

Продолжение боковых сторон трапеции

Условие

Основания трапеции $$ABCD$$ равны $$BC = 4$$ см и $$AD = 10$$ см, боковая сторона $$AB = 9$$ см. Боковые стороны продолжены до пересечения в точке $$M$$ . Найдите $$MB$$ .

Дано

$BC \parallel AD$
$$BC = 4$$ см
$$AD = 10$$ см
$$AB = 9$$ см
$$M$$ — точка пересечения прямых $$AB$$ и $$CD$$

Найти

$$MB$$

Решение

Угол $$M$$ у треугольников $$MBC$$ и $$MAD$$ общий, $\angle MBC = \angle MAD$ как соответственные при $BC \parallel AD$ . По первому признаку $\triangle MBC \sim \triangle MAD$ .
$\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{4}{10}$ , где $$MA = MB + 9$$ .
$10 \cdot MB = 4 \cdot (MB + 9)$ , $6 \cdot MB = 36$ , $$MB = 6$$ см.

Ответ: 6 см

Типичные ошибки

Составляют пропорцию из несходственных сторон

Почему неверно

Ученик видит два подобных треугольника и делит стороны «как нарисовано»: левую на левую, нижнюю на нижнюю. Но треугольники могут быть повёрнуты или перевёрнуты, и тогда отношение получается неверным.

Как правильно

Сходственные стороны лежат против равных углов. Сначала запишите подобие с правильным порядком вершин ( $\triangle ABC \sim \triangle RQP$ ), потом берите стороны прямо из записи: $$AB$$ и $$RQ$$ , $$BC$$ и $$QP$$ .

Считают, что хватит одного равного угла

Почему неверно

У двух треугольников с углом $50^\circ$ остальные углы могут быть любыми: $50^\circ, 60^\circ, 70^\circ$ и $50^\circ, 30^\circ, 100^\circ$ . Форма у них разная.

Как правильно

Нужны две пары равных углов. Исключение кажущееся: у прямоугольных треугольников одна пара — прямые углы — уже есть, поэтому им хватает одного равного острого угла.

Путают подобие с равенством

Почему неверно

Из равенства углов делают вывод, что равны и стороны: «треугольники подобны, значит, $$AB = A_1B_1$$ ». Подобные треугольники одинаковы по форме, но не по размеру.

Как правильно

Из подобия следует только пропорциональность сторон: $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{BC}{B_1C_1} = k$ . Равны стороны лишь при $$k = 1$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

В треугольнике $$ABC$$ $\angle A = 40^\circ$ , $\angle B = 75^\circ$ , в треугольнике $$MNK$$ $\angle M = 40^\circ$ , $\angle K = 65^\circ$ . Подобны ли эти треугольники?

Подсказка

Найдите третий угол треугольника $$ABC$$ .

Решение

$\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ$ . Значит, $\angle A = \angle M$ и $\angle C = \angle K$ — два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны по первому признаку ( $\triangle ABC \sim \triangle MNK$ , вершине $$B$$ соответствует $$N$$ ).

Ответ

Да, △ABC ∼ △MNK

База Задача 2

У треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ $\angle A = \angle A_1$ , $\angle B = \angle B_1$ . Известно, что $$AB = 6$$ см, $$A_1B_1 = 9$$ см, $$BC = 8$$ см. Найдите $$B_1C_1$$ .

Подсказка

Треугольники подобны; найдите коэффициент подобия по сторонам $$AB$$ и $$A_1B_1$$ .

Решение

По первому признаку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ , коэффициент $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ . Тогда $B_1C_1 = 1{,}5 \cdot 8 = 12$ см.

Ответ

12 см

Средний Задача 3

Вертикальный шест высотой 2 м отбрасывает тень длиной 1,5 м. В тот же момент тень от дерева равна 9 м. Найдите высоту дерева.

Подсказка

Солнечные лучи параллельны, поэтому они падают на шест и на дерево под одним углом.

Решение

Шест с тенью и дерево с тенью образуют прямоугольные треугольники с равным острым углом (угол падения лучей). По первому признаку они подобны, $\dfrac{H}{2} = \dfrac{9}{1{,}5} = 6$ , откуда $$H = 12$$ м.

Ответ

12 м

Средний Задача 4

В треугольнике $$ABC$$ точка $$M$$ лежит на стороне $$AB$$ , точка $$N$$ — на стороне $$BC$$ , $MN \parallel AC$ . Найдите $$MN$$ , если $$BM = 4$$ см, $$MA = 6$$ см, $$AC = 15$$ см.

Подсказка

Треугольник $$BMN$$ подобен треугольнику $$BAC$$ .

Решение

Угол $$B$$ общий, $\angle BMN = \angle BAC$ как соответственные при $MN \parallel AC$ , поэтому $\triangle BMN \sim \triangle BAC$ . $$BA = 4 + 6 = 10$$ см, $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{BA} = \dfrac{4}{10}$ , $MN = 15 \cdot 0{,}4 = 6$ см.

Ответ

6 см

Сложный Задача 5

Основания трапеции равны 6 см и 14 см, одна из диагоналей равна 15 см. На какие отрезки её делит точка пересечения диагоналей?

Подсказка

Диагонали и основания образуют два подобных треугольника с общей вершиной в точке пересечения диагоналей.

Решение

Треугольники, прилежащие к основаниям, подобны по двум углам (вертикальные углы и накрест лежащие при параллельных основаниях), коэффициент $\dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7}$ . Значит, диагональ делится в отношении $3 \colon 7$ , то есть на $15 \cdot \dfrac{3}{10} = 4{,}5$ см и $15 \cdot \dfrac{7}{10} = 10{,}5$ см.

Ответ

4,5 см и 10,5 см

Сложный Задача 6

Катеты прямоугольного треугольника $$ABC$$ равны $$AC = 6$$ см и $$BC = 8$$ см, $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе. Найдите отрезки $$AH$$ и $$HB$$ .

Подсказка

Треугольник $$ACH$$ подобен треугольнику $$ABC$$ — у них общий угол $$A$$ и по прямому углу.

Решение

По теореме Пифагора $AB = \sqrt{36 + 64} = 10$ см. У треугольников $$ACH$$ и $$ABC$$ угол $$A$$ общий, $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$ , они подобны по первому признаку. Сходственные стороны — против равных углов, поэтому $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AC}{AB}$ и $AH = \dfrac{36}{10} = 3{,}6$ см. $$HB = 10 - 3{,}6 = 6{,}4$$ см.

Ответ

AH = 3,6 см, HB = 6,4 см

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги треугольник и обведите его, а рядом начертите треугольник с теми же двумя углами, но с другой стороной — например, вдвое длиннее (углы перенесите транспортиром). Измерьте стороны: каждая окажется вдвое больше. Хороший бытовой пример — тени в солнечный день: по длине тени палки и тени дерева можно найти высоту дерева, не залезая на него.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему достаточно двух равных углов, а не трёх? 2) Как понять, какие стороны сходственные? 3) Подобны ли любые два прямоугольных треугольника?

На что обратить внимание. Главная трудность — не сам признак, а умение увидеть равные углы на чертеже: общие, вертикальные, при параллельных прямых. Попросите ребёнка отмечать равные углы дугами одного цвета. Вторая частая ошибка — пропорция из несходственных сторон; помогает запись подобия в правильном порядке вершин.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 66	657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 669, 670, 671