Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 718

Задача 1

Условие (кратко)

Вертикальные шесты AB = a, CD = b, AC = d (рис. 241). Верёвки AD и BC пересекаются в точке O на высоте x; её проекция делит AC на m и n. Докажите: m/d = x/b, n/d = x/a.

Решение

Дано: $AB \perp AC$ , $CD \perp AC$ , $$AB = a$$ , $$CD = b$$ , $$AC = d$$ , $AD \cap BC = O$ , $OH \perp AC$ , $$OH = x$$ , $$AH = m$$ , $$HC = n$$ . Доказать: $\dfrac{m}{d} = \dfrac{x}{b}$ , $\dfrac{n}{d} = \dfrac{x}{a}$ .

$OH \parallel DC$ (оба перпендикулярны $$AC$$ ). В треугольниках $$AOH$$ и $$ADC$$ угол $$A$$ общий, $\angle AHO = \angle ACD = 90^\circ$ , значит, $\triangle AOH \sim \triangle ADC$ и $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{OH}{DC}$ , то есть $\dfrac{m}{d} = \dfrac{x}{b}$ .
Так же $\triangle COH \sim \triangle CBA$ (угол $$C$$ общий, прямые углы при $$H$$ и $$A$$ ), поэтому $\dfrac{CH}{CA} = \dfrac{OH}{BA}$ , то есть $\dfrac{n}{d} = \dfrac{x}{a}$ .

Ответ

Утверждение доказано: m/d = x/b, n/d = x/a

Почему так

Перпендикуляр OH параллелен шестам и отсекает треугольники, подобные треугольникам ADC и CBA.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

По данным рисунка 241 (шесты a и b, верёвки пересекаются на высоте x) докажите, что x/a + x/b = 1.

Решение

Дано: те же обозначения, что в пункте а). Доказать: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{b} = 1$ .

В пункте а) получили $\dfrac{x}{b} = \dfrac{m}{d}$ и $\dfrac{x}{a} = \dfrac{n}{d}$ . Складываем:

\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{b} = \dfrac{m + n}{d} = \dfrac{d}{d} = 1,

так как точка

\(H\)

лежит между

\(A\)

\(C\)

\(m + n = AC = d\)

Ответ

Утверждение доказано: x/a + x/b = 1

Почему так

Складываем две пропорции из пункта а), а m + n = d.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 3

Условие (кратко)

По данным рисунка 241 найдите высоту x точки пересечения верёвок и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами AB = a и CD = b.

Решение

Дано

$$AB = a$$
$$CD = b$$
$\dfrac{x}{a} + \dfrac{x}{b} = 1$ (пункт б)

Найти

$$x$$

$x \cdot \dfrac{a + b}{ab} = 1$ , откуда

x = \dfrac{ab}{a + b}.

В эту формулу входят только длины шестов, расстояния $$d$$ в ней нет. Значит, как ни раздвигай шесты, верёвки пересекутся на одной и той же высоте.

Ответ

x = ab/(a + b), от d не зависит

Почему так

Из равенства x/a + x/b = 1 высота выражается только через a и b.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/dopolnitelnye-zadachi-k-glave-8/upr-718/