Задача 1
Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом A взаимно перпендикулярны. Основание AB = 6 см, боковая сторона AD = 4 см. Найдите DC, DB и CB.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AB \parallel DC\)
- \(\angle A = \angle D = 90^\circ\)
- \(AC \perp BD\)
- \(AB = 6\) см
- \(AD = 4\) см
- \(DC\)
- \(DB\)
- \(CB\)
-
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей. В прямоугольном \(\triangle ABD\): \(\angle ABD = 90^\circ - \angle ADB\). В прямоугольном \(\triangle AOD\): \(\angle DAC = 90^\circ - \angle ADO = 90^\circ - \angle ADB\). Значит, \(\angle ABD = \angle DAC\).
-
Прямоугольные треугольники \(BAD\) и \(ADC\) (\(\angle A = \angle D = 90^\circ\)) подобны по первому признаку: \(\dfrac{DC}{AD} = \dfrac{AD}{AB}\), откуда \(DC = \dfrac{AD^2}{AB} = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3} = 2\dfrac{2}{3}\) см.
-
По теореме Пифагора в \(\triangle ABD\): \(DB = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\) см.
-
Проведём \(CK \perp AB\). \(AKCD\) — прямоугольник: \(CK = 4\) см, \(AK = \dfrac{8}{3}\) см, \(KB = 6 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{10}{3}\) см. Тогда \(CB = \sqrt{\dfrac{100}{9} + 16} = \sqrt{\dfrac{244}{9}} = \dfrac{2\sqrt{61}}{3}\) см.
Ответ
Перпендикулярность диагоналей даёт равные углы, и прямоугольные треугольники BAD и ADC подобны; остальное — теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».