Задача 1
(Повышенной трудности.) Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите его длину, если основания равны a и b.
Решение
- \(ABCD\) — трапеция
- \(AD = a\)
- \(BC = b\)
- \(O\) — точка пересечения диагоналей
- \(MN \parallel AD\)
- \(O \in MN\)
- \(M\) на \(AB\)
- \(N\) на \(CD\)
- \(MN\)
-
\(\triangle AOD \sim \triangle COB\) (накрест лежащие углы при \(AD \parallel BC\)), поэтому \(\dfrac{AO}{OC} = \dfrac{DO}{OB} = \dfrac{a}{b}\). Значит, \(\dfrac{AO}{AC} = \dfrac{DO}{DB} = \dfrac{a}{a + b}\).
-
\(MO \parallel BC\), поэтому \(\triangle AMO \sim \triangle ABC\): \(\dfrac{MO}{BC} = \dfrac{AO}{AC}\), \(MO = \dfrac{ab}{a + b}\).
-
\(ON \parallel BC\), поэтому \(\triangle DON \sim \triangle DBC\): \(\dfrac{ON}{BC} = \dfrac{DO}{DB}\), \(ON = \dfrac{ab}{a + b}\).
-
\(MN = MO + ON = \dfrac{2ab}{a + b}\).
Ответ
Точка пересечения диагоналей делит их в отношении оснований, и отрезок состоит из двух равных половин ab/(a + b).
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».