Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 722

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$MN$$ — средняя линия, $$M$$ — середина $$AB$$ , $$N$$ — середина $$AC$$ . Доказать: расстояния от $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ до прямой $$MN$$ равны.

Опустим перпендикуляры $$AH$$ и $$BP$$ на прямую $$MN$$ . Если $AB \perp MN$ , то $$H = P = M$$ и $$AH = AM = MB = BP$$ .
Иначе прямоугольные треугольники $$AHM$$ и $$BPM$$ равны по гипотенузе и острому углу: $$AM = MB$$ , $\angle AMH = \angle BMP$ (вертикальные). Значит, $$AH = BP$$ .
Точно так же, через середину $$N$$ стороны $$AC$$ , получаем, что расстояние от $$C$$ до $$MN$$ равно $$AH$$ .
Итак, все три вершины находятся на одном расстоянии от прямой $$MN$$ .

Ответ

Утверждение доказано: расстояния от A, B и C до прямой MN равны

Почему так

Прямая средней линии проходит через середины сторон, и перпендикуляры из концов стороны отсекают равные прямоугольные треугольники.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).