Средняя линия треугольника

Натяните верёвку между серединами двух сторон треугольного участка. Окажется, что она идёт точно параллельно третьей стороне — и ровно вдвое короче неё. Это и есть свойство средней линии.

Что такое средняя линия

Пусть \(M\) — середина стороны \(AB\), \(N\) — середина стороны \(BC\). Отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Она «смотрит» на третью сторону \(AC\), концов которой не касается. У каждого треугольника три средние линии — по одной на каждую пару сторон.

Не путайте с медианой: медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а средняя линия — две середины.

Теорема о средней линии

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Почему. Сравним треугольники \(MBN\) и \(ABC\). Угол \(B\) у них общий, а прилежащие стороны пропорциональны: \(\dfrac{BM}{BA} = \dfrac{BN}{BC} = \dfrac{1}{2}\). По второму признаку подобия \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\) с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\). Значит:

• \(MN = \dfrac{1}{2}AC\) — соответственные стороны;
• \(\angle BMN = \angle BAC\) (углы 1 и 2 на рисунке). Это соответственные углы при прямых \(MN\), \(AC\) и секущей \(AB\), поэтому \(MN \parallel AC\).

Отсюда же: средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\), его площадь — четверть площади всего треугольника. А три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника.

Медианы делятся в отношении 2 : 1

Проведём медианы \(AA_1\) и \(BB_1\); пусть \(O\) — точка их пересечения. Отрезок \(A_1B_1\) — средняя линия: \(A_1B_1 \parallel AB\) и \(A_1B_1 = \dfrac{1}{2}AB\).

Треугольники \(AOB\) и \(A_1OB_1\) подобны по двум углам: углы при \(A\) и \(A_1\), а также при \(B\) и \(B_1\) равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Коэффициент подобия — \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = 2\), поэтому \(AO = 2 \cdot OA_1\) и \(BO = 2 \cdot OB_1\).

Так же третья медиана \(CC_1\) пересекает \(BB_1\) в точке, которая делит \(BB_1\) в отношении \(2 : 1\) от вершины, — это та же точка \(O\). Итак, все три медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(2 : 1\), считая от вершины.

Эту точку называют центроидом, или центром масс треугольника. Вырежьте треугольник из картона — он удержится на острие карандаша, поставленном ровно в эту точку.

Удобно запомнить так: медиана делится на три равные части, две у вершины и одна у стороны:

Как решать задачи

1. Найдите на чертеже середины сторон. Две середины на сторонах одного треугольника — сразу проводите среднюю линию.
2. Определите, какой стороне она параллельна: той, которую она не касается. Длина — половина этой стороны.
3. Если нужен угол, пользуйтесь параллельностью: соответственные и накрест лежащие углы равны.
4. Если нужна площадь, вспомните: средняя линия отсекает треугольник с площадью в 4 раза меньше.
5. В задачах про точку пересечения медиан делите медиану на 3 части: \(\dfrac{2}{3}\) — от вершины до точки, \(\dfrac{1}{3}\) — от точки до стороны.
6. В четырёхугольнике проведите диагональ — она разобьёт его на два треугольника со своими средними линиями.