Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 723

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — ромб, $$K$$ , $$L$$ , $$M$$ , $$N$$ — середины $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ . Доказать: $$KLMN$$ — прямоугольник.

$$KL$$ — средняя линия $\triangle ABC$ , поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{AC}{2}$ . $$NM$$ — средняя линия $\triangle ADC$ : $NM \parallel AC$ , $NM = \dfrac{AC}{2}$ . Значит, $$KL$$ и $$NM$$ параллельны и равны, и $$KLMN$$ — параллелограмм.
$$KN$$ — средняя линия $\triangle ABD$ , поэтому $KN \parallel BD$ .
Диагонали ромба перпендикулярны: $AC \perp BD$ . Тогда $KL \perp KN$ , то есть $\angle LKN = 90^\circ$ .
Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Ответ

Утверждение доказано: KLMN — прямоугольник

Почему так

Стороны четырёхугольника — средние линии, они параллельны диагоналям ромба, а те перпендикулярны.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).