Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 724

Задача 1

Условие (кратко)

Точки M и N — середины сторон CD и BC параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, $$M$$ — середина $$CD$$ , $$N$$ — середина $$BC$$ , $AN \cap BD = P$ , $AM \cap BD = Q$ . Доказать: $$BP = PQ = QD$$ .

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей; $$O$$ — середина $$AC$$ и $$BD$$ .
В $\triangle ABC$ отрезки $$AN$$ и $$BO$$ — медианы. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $$2 : 1$$ , считая от вершины. Поэтому $BP = \dfrac{2}{3} BO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{BD}{2} = \dfrac{BD}{3}$ .
В $\triangle ACD$ отрезки $$AM$$ и $$DO$$ — медианы, поэтому так же $DQ = \dfrac{BD}{3}$ .
Тогда $PQ = BD - BP - DQ = \dfrac{BD}{3}$ , то есть $$BP = PQ = QD$$ .

Ответ

Утверждение доказано: BP = PQ = QD = BD/3

Почему так

Точки деления — точки пересечения медиан треугольников ABC и ACD, а медиана делится ею в отношении 2 : 1.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).