Задача 1
(Задание для работы в группе.) Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что BD/AB = DC/AC.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AD\) — биссектриса внешнего угла при вершине \(A\), \(D\) лежит на прямой \(BC\). Доказать: \(\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\).
-
Пусть точка \(B\) лежит между \(C\) и \(D\). Внешний угол при \(A\) образован лучом \(AC\) и продолжением стороны \(BA\). Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, поэтому \(D\) находится на одном и том же расстоянии \(h\) от прямых \(AB\) и \(AC\).
-
Площади треугольников \(ABD\) и \(ACD\) через стороны \(AB\) и \(AC\): \(S_{ABD} = \dfrac{1}{2} AB \cdot h\), \(S_{ACD} = \dfrac{1}{2} AC \cdot h\). Значит, \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{AB}{AC}\).
-
У этих треугольников общая высота из вершины \(A\) к прямой \(BC\), поэтому их площади относятся как основания: \(\dfrac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \dfrac{BD}{CD}\).
-
Получили \(\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC}\), то есть \(\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{DC}{AC}\).
Ответ
Отношение площадей треугольников ABD и ACD считаем двумя способами — через основания на прямой BC и через стороны AB и AC.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».