Задача 1
В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину BC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A; она пересекает прямые AB и AC в точках D и E. Докажите, что BD = CE.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB \ne AC\), \(AL\) — биссектриса, \(M\) — середина \(BC\), \(DE \parallel AL\), \(M \in DE\), \(D\) на прямой \(AB\), \(E\) на прямой \(AC\). Доказать: \(BD = CE\).
-
По свойству биссектрисы (задача 642) \(\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC}\), то есть \(\dfrac{AB}{BL} = \dfrac{AC}{LC}\).
-
\(MD \parallel LA\), угол \(B\) общий, поэтому \(\triangle BMD \sim \triangle BLA\) и \(\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BM}{BL}\), откуда \(BD = BM \cdot \dfrac{AB}{BL}\).
-
\(ME \parallel LA\), угол \(C\) общий, поэтому \(\triangle CME \sim \triangle CLA\) и \(CE = CM \cdot \dfrac{AC}{CL}\).
-
\(BM = CM\) и \(\dfrac{AB}{BL} = \dfrac{AC}{CL}\), значит, \(BD = CE\).
Ответ
Две пары подобных треугольников с общими вершинами B и C плюс свойство биссектрисы дают равные выражения для BD и CE.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».