Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 727

Задача 1

Условие (кратко)

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC сумма оснований равна b, диагональ AC равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — трапеция
$AD \parallel BC$
$$AD + BC = b$$
$$AC = a$$
$\angle ACB = \alpha$

Найти

$$S$$

Проведём $AH \perp BC$ ( $$H$$ на прямой $$BC$$ ). $$AH$$ — высота трапеции.
В прямоугольном $\triangle AHC$ гипотенуза $$AC = a$$ , а угол при вершине $$C$$ равен $\alpha$ , поэтому $AH = a \sin \alpha$ . Здесь угол $\alpha$ считаем острым: синус пока определён только для острого угла прямоугольного треугольника. (Если $\alpha$ тупой, то точка $$H$$ лежит на продолжении $$BC$$ за точку $$C$$ , угол $$ACH$$ равен $180^\circ - \alpha$ и $AH = a \sin(180^\circ - \alpha)$ ; в 9 классе выяснится, что это то же самое, что $a \sin \alpha$ .)
$S = \dfrac{AD + BC}{2} \cdot AH = \dfrac{b}{2} \cdot a \sin \alpha = \dfrac{ab}{2} \sin \alpha$ .

Ответ

S = (ab/2) · sin α

Почему так

Высота трапеции — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой AC и углом α, а площадь — полусумма оснований на высоту.

Подробнее — в теме «Синус, косинус и тангенс острого угла».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).