Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
В прямоугольном треугольнике синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему. Они зависят только от величины угла и связаны основным тригонометрическим тождеством.
Подробное объяснение
Горка во дворе и огромная горка в аквапарке могут иметь одинаковый наклон. Тогда у обеих отношение высоты к длине спуска одно и то же, хотя размеры разные. Это отношение зависит только от угла наклона — и у него есть имя: синус.
Катеты «против» и «рядом»
Возьмём прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(C\) и посмотрим на острый угол \(A\). Катет \(BC\) лежит напротив угла — он противолежащий. Катет \(AC\) образует угол \(A\) вместе с гипотенузой — он прилежащий. Для угла \(B\) роли катетов меняются.
Три определения
- Синус угла — противолежащий катет, делённый на гипотенузу: \(\sin A = \dfrac{BC}{AB}\).
- Косинус — прилежащий катет, делённый на гипотенузу: \(\cos A = \dfrac{AC}{AB}\).
- Тангенс — противолежащий катет, делённый на прилежащий: \(\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC}\).
Разделив синус на косинус, получим тангенс: \(\operatorname{tg} A = \dfrac{\sin A}{\cos A}\) — гипотенуза сокращается.
Катет всегда короче гипотенузы, поэтому синус и косинус острого угла — числа от 0 до 1. Тангенс может быть любым положительным числом.
Почему это зависит только от угла
Если у двух прямоугольных треугольников острые углы равны, треугольники подобны по двум углам. Стороны подобных треугольников пропорциональны, поэтому отношения сторон у них одинаковы. Значит, синус, косинус и тангенс определяются самим углом, а не размерами треугольника.
Основное тригонометрическое тождество
Сложим квадраты синуса и косинуса: \(\sin^2 A + \cos^2 A = \dfrac{BC^2 + AC^2}{AB^2}\). По теореме Пифагора числитель равен \(AB^2\), и получается \(1\):
Зная синус, по этой формуле находят косинус, и наоборот. Для острого угла берут положительный корень.
Углы 30°, 45° и 60°
- В треугольнике с углами \(30^\circ\) и \(60^\circ\) катет против \(30^\circ\) равен половине гипотенузы. Отсюда \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\), а по тождеству \(\cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
- В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, а гипотенуза в \(\sqrt{2}\) раз больше катета. Поэтому \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\operatorname{tg} 45^\circ = 1\).
Заметьте: синус одного острого угла равен косинусу другого, ведь противолежащий катет для одного угла — прилежащий для другого. Значения для других углов берут из таблиц или с калькулятора.
Как решать задачи
- Найдите прямоугольный треугольник, в котором есть нужный угол. Если его нет — проведите высоту.
- Отметьте, какой катет противолежащий, какой прилежащий, где гипотенуза.
- Выберите функцию, которая связывает известную сторону с искомой: гипотенуза и противолежащий катет — синус, гипотенуза и прилежащий — косинус, два катета — тангенс.
- Выразите неизвестное: катет \(= c \sin \alpha\) или \(c \cos \alpha\), гипотенуза \(= \dfrac{a}{\sin \alpha}\), второй катет \(= a \operatorname{tg} \alpha\) (через прилежащий катет \(a\)).
- Подставьте числа; для 30°, 45°, 60° — точные значения из таблицы.
Разобранные примеры
Синус, косинус и тангенс по сторонам
В треугольнике \(KLM\) угол \(M\) прямой, \(KM = 5\), \(KL = 13\). Найдите \(\sin K\), \(\cos K\) и \(\operatorname{tg} K\).
- \(\angle M = 90^\circ\)
- \(KM = 5\)
- \(KL = 13\)
- \(\sin K\)
- \(\cos K\)
- \(\operatorname{tg} K\)
По теореме Пифагора \(LM = \sqrt{169 - 25} = 12\). Для угла \(K\) катет \(LM\) противолежащий, \(KM\) — прилежащий.
\(\sin K = \dfrac{LM}{KL} = \dfrac{12}{13}\), \(\cos K = \dfrac{KM}{KL} = \dfrac{5}{13}\), \(\operatorname{tg} K = \dfrac{LM}{KM} = \dfrac{12}{5}\).
Высота дерева по тени
Солнечные лучи падают на землю под углом 45°, тень от дерева имеет длину 7,5 м. Какова высота дерева?
- тень \(a = 7{,}5\) м
- угол между лучом и землёй \(45^\circ\)
- высоту \(h\)
Дерево, тень и луч образуют прямоугольный треугольник. Высота — катет против угла \(45^\circ\), тень — прилежащий катет. \(\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{h}{a}\), откуда \(h = 7{,}5 \cdot 1 = 7{,}5\) м.
Боковая сторона трапеции
Высота прямоугольной трапеции равна \(4\sqrt{3}\) см, острый угол равен 60°. Найдите наклонную боковую сторону и разность оснований.
- высота \(h = 4\sqrt{3}\) см
- острый угол \(60^\circ\)
- боковую сторону \(l\) и разность оснований \(x\)
Проведём высоту из конца меньшего основания. Получится прямоугольный треугольник: гипотенуза — боковая сторона \(l\), катет против угла \(60^\circ\) — высота \(h\), прилежащий катет — разность оснований \(x\).
\(l = \dfrac{h}{\sin 60^\circ} = 4\sqrt{3} : \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 8\) см, \(x = \dfrac{h}{\operatorname{tg} 60^\circ} = \dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) см.
Типичные ошибки
Противолежащий и прилежащий — не постоянные названия катетов, а их положение относительно выбранного угла. Катет, противолежащий углу \(A\), для угла \(B\) прилежащий. Если перепутать, синус превратится в косинус, и ответ будет для другого угла.
Прежде чем писать отношение, покажите пальцем на угол: катет, которого угол не касается, — противолежащий; катет, который образует угол вместе с гипотенузой, — прилежащий.
В синусе и косинусе знаменатель — гипотенуза. Если получился синус больше 1, например \(\dfrac{13}{12}\), значит, гипотенузу поставили в числитель.
Проверяйте себя: синус и косинус острого угла всегда меньше 1. Больше 1 может быть только тангенс.
Определения синуса, косинуса и тангенса через стороны работают только в прямоугольном треугольнике. В произвольном треугольнике отношение стороны к стороне не равно синусу угла.
Сначала получите прямоугольный треугольник — проведите высоту, используйте диагональ ромба или высоту трапеции — и только потом записывайте отношения.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой. Чему равен \(\cos A\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(\dfrac{AC}{AB}\)
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе; к углу \(A\) прилежит катет \(AC\), гипотенуза — \(AB\).
-
Какие утверждения верны для любого острого угла \(\alpha\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\); Б) \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
Катет короче гипотенузы, поэтому синус и косинус меньше 1; у подобных прямоугольных треугольников отношения сторон одинаковы, значит, они зависят только от угла.
-
Чему равен \(\operatorname{tg} 60^\circ\)?
Показать ответ
Ответ: Г) \(\sqrt{3}\)
\(\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{\sin 60^\circ}{\cos 60^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \div \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\).
-
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 14, один из острых углов равен 30°. Найдите катет, лежащий против этого угла.
Показать ответ
Ответ: 7
Противолежащий катет равен \(14 \sin 30^\circ = 14 \cdot \dfrac{1}{2} = 7\).
-
Косинус острого угла равен 0,28. Найдите синус этого угла.
Показать ответ
Ответ: 0,96
\(\sin^2 \alpha = 1 - 0{,}28^2 = 1 - 0{,}0784 = 0{,}9216\), \(\sin \alpha = 0{,}96\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите синус, косинус и тангенс угла, лежащего против катета 6.
Подсказка
Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора.
Решение
Гипотенуза \(c = \sqrt{36 + 64} = 10\). Для угла против катета 6 этот катет противолежащий, катет 8 — прилежащий. \(\sin = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\), \(\cos = \dfrac{8}{10} = 0{,}8\), \(\operatorname{tg} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75\).
Ответ
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 18 см, один из острых углов равен 30°. Найдите катет, прилежащий к этому углу.
Подсказка
Прилежащий катет равен гипотенузе, умноженной на косинус угла.
Решение
Прилежащий катет \(b = c \cos 30^\circ = 18 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}\) см \(\approx 15{,}6\) см.
Ответ
Синус острого угла α равен 0,6. Найдите cos α и tg α.
Подсказка
Воспользуйтесь равенством sin²α + cos²α = 1.
Решение
\(\cos^2 \alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\), угол острый, поэтому \(\cos \alpha = 0{,}8\). \(\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75\).
Ответ
Пандус поднимается на высоту 0,9 м, угол его наклона к земле равен 30°. Какова длина пандуса?
Подсказка
Высота — катет против угла 30°, длина пандуса — гипотенуза.
Решение
\(\sin 30^\circ = \dfrac{0{,}9}{l}\), откуда \(l = \dfrac{0{,}9}{1/2} = 1{,}8\) м.
Ответ
Диагональ прямоугольника равна 10 см и образует со стороной угол 60°. Найдите площадь прямоугольника.
Подсказка
Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, стороны прямоугольника — его катеты.
Решение
Сторона, прилежащая к углу 60°, равна \(10 \cos 60^\circ = 5\) см, другая сторона \(10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}\) см. Площадь \(S = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3} \approx 43{,}3\) см².
Ответ
Тангенс острого угла α равен 2. Найдите sin α и cos α.
Подсказка
Возьмите прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2.
Решение
Если \(\operatorname{tg} \alpha = 2\), подходит треугольник с противолежащим катетом 2 и прилежащим 1 (синус и косинус зависят только от угла). Гипотенуза \(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\). \(\sin \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге два прямоугольных треугольника разного размера, но с одинаковым наклоном гипотенузы (катеты 3 и 4 клетки, затем 6 и 8 клеток). Пусть ребёнок посчитает отношение вертикального катета к горизонтальному в обоих — получится одно и то же, 0,75. Это и есть тангенс угла: он зависит от наклона, а не от размера. Затем так же разберите синус и косинус (гипотенузы 5 и 10 клеток).
Вопросы для проверки понимания: 1) Может ли синус острого угла быть равен 1,2? Почему? 2) Чему равен косинус угла, если его синус равен 0,6? 3) Почему \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ\)?
На что обратить внимание. Таблицу для 30°, 45°, 60° полезно не зубрить, а уметь вывести из двух треугольников: «половина равностороннего» и «половина квадрата». Следите, чтобы ребёнок каждый раз называл, относительно какого угла катет противолежащий.