Задача 1
На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K, AK = KD/4. Диагональ AC и отрезок BK пересекаются в точке P. Найдите площадь ABCD, если площадь треугольника APK равна 1 см².
Решение
- \(ABCD\) — параллелограмм
- \(K\) на \(AD\)
- \(AK = \dfrac{1}{4} KD\)
- \(AC \cap BK = P\)
- \(S_{APK} = 1\ \text{см}^2\)
- \(S_{ABCD}\)
-
\(AK = \dfrac{1}{4} KD\), поэтому \(AD = 5AK\), а \(BC = AD = 5AK\).
-
\(AK \parallel BC\), накрест лежащие углы равны, поэтому \(\triangle APK \sim \triangle CPB\) с коэффициентом \(\dfrac{AK}{CB} = \dfrac{1}{5}\). Значит, \(PB = 5PK\).
-
Треугольники \(APK\) и \(APB\) имеют общую высоту из вершины \(A\), их основания \(PK\) и \(PB\) лежат на одной прямой. Поэтому \(S_{APB} = 5 S_{APK} = 5\ \text{см}^2\) и \(S_{ABK} = 1 + 5 = 6\ \text{см}^2\).
-
Пусть \(h\) — высота параллелограмма к стороне \(AD\). Тогда \(S_{ABK} = \dfrac{1}{2} AK \cdot h\), а \(S_{ABCD} = AD \cdot h = 5AK \cdot h = 10 S_{ABK} = 60\ \text{см}^2\).
Ответ
Подобие треугольников APK и CPB даёт отношение PK : PB = 1 : 5, дальше площади треугольников с общей высотой относятся как основания.
Подробнее — в теме «Отношение площадей подобных треугольников».