Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если треугольники подобны с коэффициентом \(k\), то их площади относятся как \(k^2\): стороны больше в \(k\) раз, а площадь — в \(k^2\) раз.
Подробное объяснение
Фотографию 10 × 15 см увеличили до 20 × 30 см — стороны выросли вдвое. Сколько нужно бумаги? Не вдвое больше, а вчетверо: \(20 \cdot 30 = 600\) против \(10 \cdot 15 = 150\). С треугольниками то же самое.
Теорема
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
где \(S\) и \(S_1\) — площади треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\), \(k = \dfrac{AB}{A_1B_1}\).
Посмотрите на рисунок: треугольник со сторонами вдвое больше складывается из четырёх копий маленького. Коэффициент 2 — площадь в \(2^2 = 4\) раза больше.
Почему это верно
У подобных треугольников \(\angle A = \angle A_1\). Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, образующих этот угол:
Что ещё относится как k
Все «линейные» размеры подобных треугольников относятся как \(k\): стороны, периметры, высоты к сходственным сторонам. Площадь — величина «квадратная», поэтому для неё \(k^2\). Отсюда обратное правило: зная отношение площадей, коэффициент находят извлечением корня, \(k = \sqrt{\dfrac{S}{S_1}}\).
Масштаб
План, карта и чертёж — подобные изображения. При масштабе \(1 : n\) длины на местности в \(n\) раз больше, а площади — в \(n^2\) раз. Удобный приём: переведите, чему равен 1 см плана на местности, и возведите в квадрат. При масштабе \(1 : 100\,000\) 1 см — это 1 км, значит, 1 \(\text{см}^2\) плана — 1 \(\text{км}^2\).
Как решать задачи
- Определите, что дано: коэффициент, отношение сторон или площади.
- Если дан \(k\) — площади отличаются в \(k^2\) раз.
- Если даны площади — \(k^2 = \dfrac{S}{S_1}\), затем \(k\) — корень; на \(k\) умножайте стороны, периметры и высоты.
- Если известна сумма или разность площадей, обозначьте их \(a^2x\) и \(b^2x\) (для отношения сторон \(a : b\)) и составьте уравнение.
- Для масштаба переведите 1 см плана в нужные единицы на местности и возведите в квадрат.
Разобранные примеры
Площадь по коэффициенту
Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны с коэффициентом \(k = 3\). Площадь треугольника \(A_1B_1C_1\) равна 5 см². Найдите площадь треугольника \(ABC\).
- \(k = 3\)
- \(S_1 = 5\) \(\text{см}^2\)
- \(S\)
\(\dfrac{S}{S_1} = k^2 = 9\), поэтому \(S = 9 \cdot 5 = 45\) \(\text{см}^2\).
Сторона по площадям
Площади двух подобных треугольников равны 50 см² и 18 см². Сторона первого треугольника равна 15 см. Найдите сходственную ей сторону второго.
- \(S = 50\) \(\text{см}^2\)
- \(S_1 = 18\) \(\text{см}^2\)
- \(a = 15\) см
- \(a_1\)
- \(k^2 = \dfrac{50}{18} = \dfrac{25}{9}\), \(k = \dfrac{5}{3}\).
- \(a_1 = \dfrac{a}{k} = 15 \cdot \dfrac{3}{5} = 9\) см.
Площадь по плану
На плане масштаба 1 : 500 треугольная клумба занимает 12 см². Найдите её площадь в квадратных метрах.
- масштаб \(1 : 500\)
- \(S_{\text{план}} = 12\) \(\text{см}^2\)
- \(S\) в \(\text{м}^2\)
- 1 см плана — это 500 см \(= 5\) м на местности.
- Значит, 1 \(\text{см}^2\) плана — это \(5^2 = 25\) \(\text{м}^2\).
- \(S = 12 \cdot 25 = 300\) \(\text{м}^2\).
Типичные ошибки
Стороны выросли в 3 раза — пишут, что площадь тоже выросла в 3 раза. Но площадь зависит от двух размеров сразу (основания и высоты), и каждый вырос в 3 раза.
\(\dfrac{S}{S_1} = k^2 = 9\): площадь выросла в 9 раз.
Площади относятся как 4 : 1, и стороны тоже считают относящимися как 4 : 1. Получается сторона вдвое длиннее, чем на самом деле.
\(k^2 = 4\), значит, \(k = 2\): стороны (и периметры, и высоты) относятся как 2 : 1.
При масштабе 1 : 100 000 пишут 87,5 см² · 100 000 и ещё путаются в переводе см² в км², считая, что 1 км² = 100 000 см².
1 км \(= 10^5\) см, поэтому 1 \(\text{км}^2 = 10^{10}\) \(\text{см}^2\). Проще перевести 1 см плана в длину на местности и возвести её в квадрат.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Треугольники подобны с коэффициентом 3. Как относятся их площади?
Показать ответ
Ответ: В) 9 : 1
Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, \(3^2 = 9\).
-
Площади двух подобных треугольников равны 16 см² и 25 см². Найдите коэффициент подобия большего треугольника к меньшему.
Показать ответ
Ответ: 1,25
\(k^2 = \dfrac{25}{16}\), \(k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25\).
-
Треугольники подобны с коэффициентом \(k\). Какие отношения равны \(k\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Отношение сходственных сторон; Б) Отношение периметров; Г) Отношение высот, проведённых к сходственным сторонам
Все линейные размеры — стороны, периметры, высоты — относятся как \(k\), а площади — как \(k^2\).
-
Чертёж треугольной детали выполнен в масштабе 1 : 10, площадь треугольника на чертеже 3 см². Найдите площадь детали в квадратных сантиметрах.
Показать ответ
Ответ: 300
\(k = 10\), площади отличаются в \(k^2 = 100\) раз, \(3 \cdot 100 = 300\) \(\text{см}^2\).
-
Все стороны треугольника уменьшили в 2 раза, сохранив углы. Как изменилась площадь?
Показать ответ
Ответ: Б) Уменьшилась в 4 раза
Получился подобный треугольник с \(k = \dfrac{1}{2}\), площадь умножается на \(k^2 = \dfrac{1}{4}\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Треугольники подобны с коэффициентом 4. Площадь меньшего треугольника равна 3 см². Найдите площадь большего.
Подсказка
Площади отличаются не в 4 раза, а в 4² раз.
Решение
\(\dfrac{S}{S_1} = k^2 = 16\), поэтому \(S = 16 \cdot 3 = 48\) \(\text{см}^2\).
Ответ
Площади двух подобных треугольников относятся как 49 : 1. Во сколько раз стороны первого треугольника больше сходственных сторон второго?
Подсказка
Коэффициент подобия равен корню из отношения площадей.
Решение
\(k^2 = 49\), \(k = \sqrt{49} = 7\).
Ответ
Площади двух подобных треугольников равны 20 см² и 45 см². Сторона первого треугольника равна 6 см. Найдите сходственную ей сторону второго.
Подсказка
Найдите k² как отношение площадей, затем k.
Решение
\(k^2 = \dfrac{45}{20} = \dfrac{9}{4}\), \(k = \dfrac{3}{2}\). Сходственная сторона второго треугольника \(6 \cdot \dfrac{3}{2} = 9\) см.
Ответ
Сходственные стороны двух подобных треугольников относятся как 3 : 4, а сумма их площадей равна 75 см². Найдите площадь каждого треугольника.
Подсказка
Площади относятся как 9 : 16 — обозначьте их 9x и 16x.
Решение
\(\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{9}{16}\). Пусть \(S_1 = 9x\), \(S_2 = 16x\), тогда \(25x = 75\), \(x = 3\); \(S_1 = 27\) \(\text{см}^2\), \(S_2 = 48\) \(\text{см}^2\).
Ответ
На карте масштаба 1 : 20 000 треугольный участок леса имеет площадь 15 см². Найдите площадь участка на местности в квадратных километрах.
Подсказка
Найдите, сколько метров на местности в 1 см карты, и возведите в квадрат.
Решение
1 см карты — это 20 000 см \(= 200\) м \(= 0{,}2\) км. Значит, 1 \(\text{см}^2\) карты — это \(0{,}2^2 = 0{,}04\) \(\text{км}^2\). Площадь участка \(15 \cdot 0{,}04 = 0{,}6\) \(\text{км}^2\).
Ответ
Во сколько раз нужно увеличить все стороны треугольника, сохранив его форму, чтобы площадь увеличилась в 2 раза?
Подсказка
Площадь растёт как квадрат коэффициента: k² = 2.
Решение
Новый треугольник подобен исходному, \(\dfrac{S_{\text{нов}}}{S} = k^2 = 2\), значит, \(k = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). Стороны увеличивают не в 2 раза, а примерно в 1,41 раза.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 клетки, а рядом — с катетами 4 и 6. Стороны больше вдвое, а клеточек внутри — вчетверо (3 и 12). Вырежьте четыре маленьких треугольника и сложите из них большой — это наглядное доказательство.
Вопросы для проверки понимания: 1) Стороны треугольника увеличили в 5 раз — во сколько раз выросла площадь? 2) Площади подобных треугольников относятся как 9 : 4 — как относятся их периметры? 3) Почему при масштабе 1 : 100 площадь на плане меньше в 10 000 раз?
На что обратить внимание. Главная ошибка — переносить отношение площадей на стороны и наоборот. Площадь — \(k^2\), всё остальное (стороны, периметры, высоты) — \(k\).