Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 729

Задача 1

Условие (кратко)

В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, BC = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы C и D трапеции.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — трапеция
$AD \parallel BC$
$\angle A = \angle B = 90^\circ$
$\angle ACD = 90^\circ$
$$BC = 4$$ см
$$AD = 16$$ см

Найти

$\angle C$
$\angle D$

Проведём высоту $$CH$$ к $$AD$$ . $$ABCH$$ — прямоугольник, поэтому $$AH = BC = 4$$ см, $$HD = 16 - 4 = 12$$ см.
В прямоугольном $\triangle ACD$ отрезок $$CH$$ — высота к гипотенузе. Катет — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: $CD^2 = AD \cdot HD = 16 \cdot 12 = 192$ , $CD = 8\sqrt{3}$ см.
Высота — среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: $CH^2 = AH \cdot HD = 4 \cdot 12 = 48$ , $CH = 4\sqrt{3}$ см.
В прямоугольном $\triangle CHD$ катет $CH = 4\sqrt{3}$ равен половине гипотенузы $CD = 8\sqrt{3}$ , значит, $\angle D = 30^\circ$ .
$\angle C + \angle D = 180^\circ$ (односторонние при $AD \parallel BC$ ), $\angle C = 150^\circ$ .

Ответ

∠C = 150°, ∠D = 30°

Почему так

Высота из прямого угла к гипотенузе даёт пропорциональные отрезки, и катет против угла D оказывается вдвое короче гипотенузы.

Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).