Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных ему и друг другу. Отсюда — три равенства: высота есть среднее пропорциональное отрезков гипотенузы, а каждый катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка.
Подробное объяснение
Возьмите прямоугольный лист бумаги и разрежьте его по диагонали — получится прямоугольный треугольник. Опустите в нём высоту из прямого угла и разрежьте ещё раз. Два кусочка выйдут разного размера, но если их повернуть, оба окажутся «уменьшенными копиями» исходного треугольника. Это не случайность, а теорема.
Три подобных треугольника
Пусть в треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, а \(CH\) — высота к гипотенузе \(AB\). Обозначения такие: катеты \(BC = a\), \(CA = b\), гипотенуза \(AB = c\), высота \(CH = h\), отрезки гипотенузы \(HB = a_c\) (прилежит к катету \(a\)) и \(AH = b_c\) (прилежит к катету \(b\)). Отрезок \(a_c\) ещё называют проекцией катета \(a\) на гипотенузу.
- \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\): угол \(A\) у них общий, и в каждом есть прямой угол. Подобие по двум углам.
- \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\): общий угол \(B\) и прямой угол.
- Значит, и \(\triangle ACH \sim \triangle CBH\): оба подобны третьему. Отсюда, кстати, \(\angle ACH = \angle B\) и \(\angle BCH = \angle A\).
Среднее пропорциональное
Отрезок \(XY\) называют средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков \(p\) и \(q\), если \(XY = \sqrt{p \cdot q}\), то есть \(XY^2 = p \cdot q\). Например, для отрезков 4 и 9 среднее пропорциональное равно 6.
1. Высота. Из подобия \(\triangle ACH\) и \(\triangle CBH\) пишем пропорцию сторон: \(\dfrac{AH}{CH} = \dfrac{CH}{HB}\). Значит,
2. Катет. Из подобия \(\triangle ABC\) и \(\triangle CBH\): \(\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BC}{HB}\), откуда
Полезные следствия
- Сложив \(a^2 = c \cdot a_c\) и \(b^2 = c \cdot b_c\), получаем \(a^2 + b^2 = c(a_c + b_c) = c^2\) — ещё одно доказательство теоремы Пифагора.
- Отрезки гипотенузы относятся как квадраты катетов: \(a_c : b_c = a^2 : b^2\).
- Площадь можно записать двумя способами, \(\dfrac{1}{2}ab = \dfrac{1}{2}ch\), поэтому \(h = \dfrac{ab}{c}\).
Как решать задачи
- Нарисуйте треугольник, отметьте прямой угол, высоту и подпишите, какой отрезок гипотенузы прилежит к какому катету.
- Выпишите, что известно: два из шести элементов \(a\), \(b\), \(c\), \(h\), \(a_c\), \(b_c\) обычно определяют всё остальное.
- Выберите формулу, где одна неизвестная: \(h^2 = a_c b_c\), \(a^2 = c\,a_c\), \(b^2 = c\,b_c\), \(c = a_c + b_c\).
- Если дано отношение («катеты относятся как 3 : 4»), введите неизвестную \(x\) и составьте уравнение.
- Проверьте ответ теоремой Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\) и \(a_c^2 + h^2 = a^2\).
Разобранные примеры
Высота по отрезкам гипотенузы
Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 4 см и 9 см. Найдите высоту.
- \(a_c = 4\) см
- \(b_c = 9\) см
- \(h\)
Высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы: \(h = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\) см.
Всё по катету и гипотенузе
Катет прямоугольного треугольника равен 15 см, гипотенуза — 25 см. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу, и саму высоту.
- \(a = 15\) см
- \(c = 25\) см
- \(a_c\)
- \(b_c\)
- \(h\)
- \(a^2 = c \cdot a_c\), поэтому \(a_c = \dfrac{225}{25} = 9\) см.
- \(b_c = c - a_c = 25 - 9 = 16\) см.
- \(h = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) см.
Проверка: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\) — треугольник \(CBH\) действительно прямоугольный с гипотенузой 15.
Гипотенуза по высоте и отношению катетов
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 2 : 3, а высота, проведённая к гипотенузе, равна 6 см. Найдите гипотенузу.
- \(a : b = 2 : 3\)
- \(h = 6\) см
- \(c\)
- Из \(a^2 = c \cdot a_c\) и \(b^2 = c \cdot b_c\) следует, что отрезки гипотенузы относятся как квадраты катетов: \(a_c : b_c = 4 : 9\).
- Пусть \(a_c = 4t\), \(b_c = 9t\). Тогда \(h^2 = a_c \cdot b_c = 36t^2 = 36\), откуда \(t = 1\).
- Отрезки равны 4 см и 9 см, гипотенуза \(c = 4 + 9 = 13\) см.
Проверка: катеты \(\sqrt{13 \cdot 4} = 2\sqrt{13}\) и \(\sqrt{13 \cdot 9} = 3\sqrt{13}\) действительно относятся как 2 : 3.
Типичные ошибки
Катет \(a = 6\), отрезки гипотенузы 4 и 5, и ученик пишет \(a^2 = c \cdot 5 = 45\). Но \(36 \ne 45\) — значит, перепутан отрезок. Катет «дружит» только с прилежащим к нему отрезком, то есть с его проекцией.
Подпишите на чертеже, какой отрезок лежит рядом с каким катетом: \(a^2 = c \cdot a_c = 9 \cdot 4 = 36\), всё сходится.
Для отрезков 2 и 8 пишут \(h = \dfrac{2 + 8}{2} = 5\). Это среднее арифметическое, а высота — среднее геометрическое: \(\sqrt{2 \cdot 8} = 4\). Высота равна полусумме отрезков, только когда отрезки равны.
\(h = \sqrt{a_c \cdot b_c}\): перемножьте отрезки и извлеките корень.
Формулы \(h^2 = a_c b_c\) и \(a^2 = c\,a_c\) получены для высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Для высоты, проведённой из другой вершины, или для непрямоугольного треугольника они не работают.
Сначала убедитесь, что угол прямой (в треугольнике 5, 12, 13 это проверяют обратной теоремой Пифагора) и что высота идёт к гипотенузе.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена высота \(CD\). Чему равно \(CD^2\)?
Показать ответ
Ответ: А) AD · DB
Высота из вершины прямого угла — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы, \(CD^2 = AD \cdot DB\).
-
Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 3 и 12. Найдите высоту.
Показать ответ
Ответ: 6
\(h = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6\).
-
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) (\(\angle C = 90^\circ\)) проведена высота \(CD\). Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Высота делит треугольник на два подобных треугольника; Б) AC² = AB · AD; Г) Каждый из двух получившихся треугольников подобен треугольнику ABC
Все три треугольника подобны по двум углам; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции, \(AC^2 = AB \cdot AD\). Высота меньше гипотенузы, она не равна сумме отрезков.
-
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25, проекция одного из катетов на гипотенузу равна 16. Найдите этот катет.
Показать ответ
Ответ: 20
\(a = \sqrt{25 \cdot 16} = 5 \cdot 4 = 20\).
-
Высота делит гипотенузу на отрезки 1 и 3. Во сколько раз катет, прилежащий к отрезку 3, больше другого катета?
Показать ответ
Ответ: Б) В √3 раза
Квадраты катетов равны \(c \cdot 3\) и \(c \cdot 1\), то есть относятся как \(3 : 1\), а сами катеты — как \(\sqrt{3} : 1\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки 2 см и 8 см. Найдите эту высоту.
Подсказка
Высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы.
Решение
\(h = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4\) см.
Ответ
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Высота из вершины прямого угла отсекает от гипотенузы отрезок 5 см, прилежащий к катету a. Найдите катет a.
Подсказка
Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и прилежащего к нему отрезка.
Решение
\(a = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100} = 10\) см.
Ответ
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе, и отрезки, на которые она делит гипотенузу.
Подсказка
Сначала найдите гипотенузу по теореме Пифагора, затем каждый отрезок — как квадрат катета, делённый на гипотенузу.
Решение
Гипотенуза \(c = \sqrt{36 + 64} = 10\) см. Отрезки \(\dfrac{6^2}{10} = 3{,}6\) см и \(\dfrac{8^2}{10} = 6{,}4\) см. Высота \(h = \sqrt{3{,}6 \cdot 6{,}4} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8\) см (или \(h = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8\) см).
Ответ
Катет прямоугольного треугольника равен 12 см, а его проекция на гипотенузу — 8 см. Найдите гипотенузу и высоту, проведённую к ней.
Подсказка
Из равенства a² = c · aс найдите гипотенузу, затем второй отрезок и высоту.
Решение
\(c = \dfrac{12^2}{8} = \dfrac{144}{8} = 18\) см. Второй отрезок \(18 - 8 = 10\) см. Высота \(h = \sqrt{8 \cdot 10} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) см.
Ответ
Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см и делит гипотенузу в отношении 1 к 4. Найдите гипотенузу.
Подсказка
Обозначьте отрезки x и 4x и воспользуйтесь тем, что h² равно их произведению.
Решение
Пусть отрезки равны \(x\) и \(4x\). Тогда \(h^2 = x \cdot 4x = 4x^2 = 100\), \(x^2 = 25\), \(x = 5\) см. Отрезки 5 см и 20 см, гипотенуза \(5 + 20 = 25\) см.
Ответ
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам. Каким должен быть этот треугольник? Чему равна высота, если гипотенуза равна c?
Подсказка
Если отрезки гипотенузы равны x и x, то чему равна высота? А катеты?
Решение
Пусть каждый отрезок равен \(x = \dfrac{c}{2}\). Тогда \(h = \sqrt{x \cdot x} = x = \dfrac{c}{2}\). Катеты \(a = \sqrt{c \cdot x}\) и \(b = \sqrt{c \cdot x}\) равны, значит, треугольник равнобедренный прямоугольный (острые углы по 45°), а высота равна половине гипотенузы.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Вырежьте из бумаги прямоугольный треугольник и разрежьте его по высоте из прямого угла. Положите три треугольника рядом и поверните так, чтобы прямые углы смотрели в одну сторону — видно, что это копии одной формы разного размера. Раз формы одинаковы, стороны пропорциональны, а из пропорций и получаются все формулы темы.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему треугольники, на которые высота делит прямоугольный треугольник, подобны исходному? 2) Как найти высоту, если известны отрезки гипотенузы 1 и 16? (Ответ: 4.) 3) С каким отрезком гипотенузы надо перемножать гипотенузу, чтобы получить квадрат катета?
На что обратить внимание. Часто путают, какой отрезок прилежит к какому катету, и подменяют среднее геометрическое средним арифметическим. Попросите ребёнка всегда подписывать отрезки на чертеже и проверять ответ теоремой Пифагора.