Задача 1
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — медианы, \(G\) — точка их пересечения. Доказать: площади шести треугольников, на которые медианы делят \(\triangle ABC\), попарно равны.
-
Треугольники \(GBA_1\) и \(GCA_1\) имеют равные основания \(BA_1 = A_1C\) и общую высоту из вершины \(G\), поэтому их площади равны. Обозначим их \(x\).
-
Точно так же \(S_{GCB_1} = S_{GAB_1} = y\) и \(S_{GAC_1} = S_{GBC_1} = z\). Утверждение задачи доказано.
-
Более того, все шесть площадей равны. Медиана \(AA_1\) делит \(\triangle ABC\) на два равновеликих треугольника (равные основания, общая высота): \(S_{ABA_1} = S_{ACA_1}\), то есть \(2z + x = 2y + x\), откуда \(z = y\). Так же из медианы \(BB_1\) получаем \(x = z\).
Ответ
Треугольники с равными основаниями на одной прямой и общей вершиной имеют равные площади.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».