Задача 1
Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания BC. Высота BH пересекает диагональ AC в точке M, площадь треугольника AMH равна 4 см². Найдите площадь трапеции.
Решение
- \(ABCD\) — равнобедренная трапеция
- \(AD = 5BC\)
- \(BH \perp AD\)
- \(BH \cap AC = M\)
- \(S_{AMH} = 4\ \text{см}^2\)
- \(S_{ABCD}\)
-
Пусть \(BC = x\), \(AD = 5x\), \(h\) — высота трапеции. В равнобедренной трапеции \(AH = \dfrac{AD - BC}{2} = 2x\).
-
Проведём высоту \(CK\). \(AK = AD - \dfrac{AD - BC}{2} = 5x - 2x = 3x\).
-
\(MH \parallel CK\), угол \(A\) общий, поэтому \(\triangle AMH \sim \triangle ACK\) с коэффициентом \(\dfrac{AH}{AK} = \dfrac{2}{3}\). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: \(S_{ACK} = 4 \cdot \dfrac{9}{4} = 9\ \text{см}^2\).
-
\(S_{ACK} = \dfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot h = 9\), откуда \(xh = 6\).
-
\(S_{ABCD} = \dfrac{x + 5x}{2} \cdot h = 3xh = 18\ \text{см}^2\).
Ответ
Треугольник AMH подобен треугольнику ACK с коэффициентом 2/3, а площадь трапеции выражается через то же произведение xh.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».