Задача 1
(Повышенной трудности.) (Задание для работы в группе.) Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны, если AB/A₁B₁ = AC/A₁C₁ = AD/A₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.
Решение
Дано: \(AD\) и \(A_1D_1\) — биссектрисы, \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{AD}{A_1D_1} = k\). Доказать: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
-
Пусть \(AB = c\), \(AC = b\). Проведём \(DE \parallel AB\), \(E\) на \(AC\). Тогда \(\angle ADE = \angle BAD\) (накрест лежащие), а \(\angle BAD = \angle DAE\), поэтому \(\triangle ADE\) равнобедренный: \(AE = ED\).
-
По свойству биссектрисы (задача 642) \(\dfrac{CD}{CB} = \dfrac{b}{b + c}\). \(\triangle CDE \sim \triangle CBA\) (\(DE \parallel BA\)), поэтому \(ED = AB \cdot \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{bc}{b + c}\). Итак, \(AE = ED = \dfrac{bc}{b + c}\).
-
Так же в \(\triangle A_1B_1C_1\) строим \(D_1E_1 \parallel A_1B_1\) и получаем \(A_1E_1 = E_1D_1 = \dfrac{b_1c_1}{b_1 + c_1}\), где \(b_1 = \dfrac{b}{k}\), \(c_1 = \dfrac{c}{k}\). Подставляя, \(A_1E_1 = E_1D_1 = \dfrac{1}{k} \cdot \dfrac{bc}{b + c}\).
-
В треугольниках \(ADE\) и \(A_1D_1E_1\) все стороны пропорциональны с коэффициентом \(k\): \(\dfrac{AE}{A_1E_1} = \dfrac{ED}{E_1D_1} = \dfrac{AD}{A_1D_1} = k\). По третьему признаку они подобны, значит, \(\angle DAE = \angle D_1A_1E_1\).
-
\(\angle A = 2\angle DAE = 2\angle D_1A_1E_1 = \angle A_1\). Вместе с \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}\) по второму признаку \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\).
Ответ
Вспомогательный равнобедренный треугольник ADE определяется сторонами b, c и биссектрисой, а его подобие даёт равенство углов A и A₁.
Подробнее — в теме «Третий признак подобия треугольников».