Подобны ли треугольники со сторонами 2, 3, 4 и 4, 6, 8?

Да, все стороны второго вдвое больше

Нет, стороны разные

Нельзя сказать без углов

Какие треугольники подобны треугольнику со сторонами 4, 5 и 6?

Со сторонами 8, 10 и 12

Со сторонами 12, 15 и 18

Со сторонами 40, 50 и 60

Со сторонами 6, 7 и 8

Со сторонами 5, 6 и 7

Как правильно сопоставлять стороны двух треугольников, проверяя третий признак?

Меньшую с меньшей, среднюю со средней, большую с большей

В том порядке, в каком они перечислены в условии

Любую с любой — признак выполняется всё равно

Третий признак подобия треугольников

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Второй признак подобия треугольников

Коротко о главном

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны. Углы при этом проверять не нужно — они равны сами.

\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} \;\Rightarrow\; \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1

Подробное объяснение

Сложите треугольник из трёх реек длиной 30, 40 и 50 см, а потом — из реек 60, 80 и 100 см. Каждая рейка вдвое длиннее, и второй треугольник выглядит как увеличенная копия первого: углы те же. Треугольник — жёсткая фигура, его форма полностью задаётся сторонами. На этом и основан третий признак подобия.

Что говорит теорема

Пусть все три стороны одного треугольника в одно и то же число раз $$k$$ больше сходственных сторон другого. Тогда треугольники подобны с коэффициентом $$k$$ , и их соответственные углы равны.

Треугольники ABC и A1B1C1. Стороны первого обозначены a, b, c, сходственные стороны второго — ka, kb, kc. — Если каждая сторона одного треугольника в k раз больше сходственной стороны другого, треугольники подобны.

Это аналог третьего признака равенства («по трём сторонам»): там стороны равны, здесь — пропорциональны.

Почему это верно

Опять поможет вспомогательный треугольник $$ABC_2$$ с углами, равными углам $$A_1$$ и $$B_1$$ . По первому признаку он подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$ , и его стороны относятся к сторонам $$A_1B_1C_1$$ так же, как $\dfrac{AB}{A_1B_1}$ . По условию в том же отношении находятся и стороны треугольника $$ABC$$ . Значит, $$BC_2 = BC$$ и $$C_2A = CA$$ , а треугольники $$ABC$$ и $$ABC_2$$ равны по трём сторонам. Отсюда $\angle A = \angle A_1$ , и подобие следует из второго признака.

Как сопоставлять стороны

В подобных треугольниках против большего угла лежит большая сторона, поэтому стороны соответствуют друг другу «по росту»: меньшая — меньшей, средняя — средней, большая — большей. Перед сравнением:

расположите стороны каждого треугольника по возрастанию;
переведите их в одни единицы (сантиметры с дециметрами не сравнивают).

Найденное соответствие сторон подсказывает и соответствие углов: равны углы, лежащие против сходственных сторон.

Три признака рядом

первый — два угла одного треугольника равны двум углам другого;
второй — две стороны пропорциональны, а углы между ними равны;
третий — все три стороны пропорциональны.

Выбирайте признак по тому, что известно: даны углы или параллельные прямые — первый; общий угол и длины прилежащих к нему отрезков — второй; известны только длины всех сторон — третий.

Как решать задачи

Выпишите стороны обоих треугольников и упорядочьте их по возрастанию.
Приведите к одним единицам.
Найдите три отношения. Если все равны — треугольники подобны, общее отношение и есть $$k$$ . Если хотя бы одно отличается — не подобны.
Нужны углы — сопоставьте вершины: угол между двумя сторонами одного треугольника равен углу между сходственными сторонами другого.

Разобранные примеры

База

Проверка по трём сторонам

Условие

Подобны ли треугольники со сторонами 4 см, 7 см, 9 см и 12 см, 21 см, 27 см?

Дано

стороны $$4, 7, 9$$ см и $$12, 21, 27$$ см

Найти

подобны ли треугольники

Решение

Стороны уже упорядочены. $\dfrac{12}{4} = 3$ , $\dfrac{21}{7} = 3$ , $\dfrac{27}{9} = 3$ . Все отношения равны, по третьему признаку треугольники подобны с коэффициентом 3.

Ответ: Да, коэффициент подобия 3

Средний

Когда двух отношений мало

Условие

Подобны ли треугольники со сторонами 6, 8, 9 и 12, 16, 20?

Дано

стороны $$6, 8, 9$$ и $$12, 16, 20$$

Найти

подобны ли треугольники

Решение

$\dfrac{12}{6} = 2$ , $\dfrac{16}{8} = 2$ — пока всё совпадает. Но $\dfrac{20}{9} \approx 2{,}22 \ne 2$ . Третье отношение другое, значит, стороны не пропорциональны и треугольники не подобны. У подобного треугольника большая сторона была бы $2 \cdot 9 = 18$ .

Ответ: Не подобны

Сложный

Угол по подобию

Условие

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 5$$ , $$BC = 12$$ , $$AC = 13$$ , в треугольнике $$KMN$$ $$KM = 10$$ , $$MN = 24$$ , $$KN = 26$$ . Найдите угол $$M$$ .

Дано

$$AB = 5$$
$$BC = 12$$
$$AC = 13$$
$$KM = 10$$
$$MN = 24$$
$$KN = 26$$

Найти

$\angle M$

Решение

$\dfrac{KM}{AB} = \dfrac{MN}{BC} = \dfrac{KN}{AC} = 2$ , по третьему признаку $\triangle ABC \sim \triangle KMN$ , причём $A \leftrightarrow K$ , $B \leftrightarrow M$ , $C \leftrightarrow N$ .
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$ , по теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle B = 90^\circ$ .
$\angle M = \angle B = 90^\circ$ .

Ответ: 90°

Типичные ошибки

Сопоставляют стороны в порядке условия

Почему неверно

В условии стороны одного треугольника 5, 3, 4, другого — 6, 8, 10. Ученик делит по порядку: $\dfrac{6}{5}$ , $\dfrac{8}{3}$ , $\dfrac{10}{4}$ — и делает вывод, что подобия нет. А треугольники подобны.

Как правильно

Сначала упорядочьте: $$3, 4, 5$$ и $$6, 8, 10$$ . Теперь $\dfrac{6}{3} = \dfrac{8}{4} = \dfrac{10}{5} = 2$ .

Проверяют только два отношения

Почему неверно

Совпали два отношения — и ученик уже пишет «подобны». Но третья сторона может быть любой в пределах неравенства треугольника, как в примере 6, 8, 9 и 12, 16, 20.

Как правильно

Для третьего признака нужны все три отношения. Если известны только две стороны, нужен ещё угол между ними — это уже второй признак.

Сравнивают стороны в разных единицах

Почему неверно

Стороны 1,7 см, 3 см, 4,2 см и 34 дм, 60 дм, 84 дм. Если делить числа без перевода, коэффициент получится 20 вместо 200, а при смешанных единицах в одном треугольнике можно ошибиться и с самим выводом.

Как правильно

Переведите все длины в одни единицы: $$34$$ дм $$= 340$$ см, и только потом делите.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Стороны одного треугольника равны 4 см, 6 см и 8 см, другого — 6 см, 9 см и 12 см. Подобны ли треугольники? Если да, найдите коэффициент подобия (второго треугольника к первому).

Подсказка

Разделите меньшую сторону на меньшую, среднюю на среднюю, большую на большую.

Решение

$\dfrac{6}{4} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$ . Все три отношения равны, по третьему признаку треугольники подобны, $$k = 1{,}5$$ .

Ответ

Да, k = 1,5

База Задача 2

Подобны ли треугольники со сторонами 5 см, 7 см, 9 см и 10 см, 14 см, 17 см?

Подсказка

Достаточно, чтобы одно из трёх отношений отличалось.

Решение

$\dfrac{10}{5} = 2$ , $\dfrac{14}{7} = 2$ , но $\dfrac{17}{9} \ne 2$ . Если бы треугольники были подобны, большая сторона второго была бы $2 \cdot 9 = 18$ см. Стороны не пропорциональны — треугольники не подобны.

Ответ

Нет

Средний Задача 3

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 3$$ , $$BC = 5$$ , $$CA = 6$$ , в треугольнике $$KMN$$ $$KM = 4{,}5$$ , $$MN = 9$$ , $$NK = 7{,}5$$ . Подобны ли треугольники? Какой угол треугольника $$KMN$$ равен углу $$A$$ ?

Подсказка

Расположите стороны каждого треугольника по возрастанию и сопоставьте. Угол $$A$$ лежит между сторонами $$AB$$ и $$CA$$ .

Решение

По возрастанию — $$3, 5, 6$$ и $4{,}5;\ 7{,}5;\ 9$ . Отношения $\dfrac{4{,}5}{3} = \dfrac{7{,}5}{5} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ , треугольники подобны. Соответствие сторон — $AB \leftrightarrow KM$ , $BC \leftrightarrow NK$ , $CA \leftrightarrow MN$ . Угол $$A$$ заключён между $$AB$$ и $$CA$$ , им соответствуют $$KM$$ и $$MN$$ , которые сходятся в вершине $$M$$ . Значит, $\angle A = \angle M$ .

Ответ

Да; ∠A = ∠M

Средний Задача 4

Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см, стороны другого — 9 см, 12 см и 15 см. Докажите, что треугольники подобны, и найдите наибольший угол второго треугольника.

Подсказка

Проверьте, не прямоугольный ли первый треугольник.

Решение

$\dfrac{9}{12} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{15}{20} = 0{,}75$ , треугольники подобны по третьему признаку. В первом $$12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2$$ , по теореме, обратной теореме Пифагора, он прямоугольный. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны; у подобных треугольников углы равны, поэтому наибольший угол второго тоже $90^\circ$ (проверка — $$9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$$ ).

Ответ

90°

Сложный Задача 5

При каком $$x$$ треугольники со сторонами 2, 3, 4 и 5; 7,5; $$x$$ подобны?

Подсказка

Какие две стороны первого треугольника относятся так же, как 5 и 7,5?

Решение

$\dfrac{7{,}5}{5} = 1{,}5$ . Среди сторон 2, 3, 4 в отношении 1,5 находятся только 2 и 3, поэтому $5 \leftrightarrow 2$ , $7{,}5 \leftrightarrow 3$ , $$k = 2{,}5$$ . Третья сторона $x = 2{,}5 \cdot 4 = 10$ . Другие варианты не подходят — при них отношения сторон не совпадают.

Ответ

x = 10

Сложный Задача 6

В треугольнике $$ABC$$ $$AB = 4$$ , $$BC = 6$$ , $$AC = 8$$ . На стороне $$AC$$ взята точка $$D$$ , $$AD = 2$$ , $$BD = 3$$ . Докажите, что $\angle ABD = \angle C$ .

Подсказка

Сравните стороны треугольников $$ABD$$ и $$ACB$$ .

Решение

Стороны треугольника $$ABD$$ — $$AD = 2$$ , $$BD = 3$$ , $$AB = 4$$ , стороны треугольника $$ACB$$ — $$AB = 4$$ , $$CB = 6$$ , $$AC = 8$$ . $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ , по третьему признаку $\triangle ABD \sim \triangle ACB$ ( $AD \leftrightarrow AB$ , $BD \leftrightarrow CB$ , $AB \leftrightarrow AC$ ). Угол $$ABD$$ лежит против стороны $$AD$$ , сходственной стороне $$AB$$ , против которой лежит угол $$C$$ . Значит, $\angle ABD = \angle C$ .

Ответ

Доказано, △ABD ∼ △ACB

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарежьте из соломинок или полосок картона три отрезка, например 3, 4 и 5 см, и сложите треугольник. Затем нарежьте 6, 8 и 10 см и сложите второй. Наложите их углами друг на друга — углы совпадут. Пусть ребёнок попробует собрать треугольник из 6, 8 и 9 см: он получится «кривее», и углы уже не совпадут.

Вопросы для проверки понимания: 1) Сколько отношений сторон нужно проверить по третьему признаку? 2) Почему стороны сопоставляют по возрастанию? 3) Как по подобию найти, какой угол одного треугольника равен данному углу другого?

На что обратить внимание. Типичные промахи — сопоставление сторон «как написано» и проверка только двух отношений. Попросите ребёнка всегда выписывать стороны по возрастанию и переводить их в одни единицы.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 68	667, 668