Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 733

Задача 1

Условие (кратко)

Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, подобный треугольнику ABC, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника ABC.

Решение

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Нужно $$k^2 = 2$$ , то есть $k = \sqrt{2}$ : стороны искомого треугольника в $\sqrt{2}$ раз больше.

Построение.

Строим прямой угол с вершиной $$O$$ и откладываем на его сторонах $$OP = OQ = AB$$ . В прямоугольном равнобедренном $\triangle OPQ$ гипотенуза $PQ = \sqrt{AB^2 + AB^2} = AB\sqrt{2}$ .
На произвольной прямой откладываем отрезок $$A_1B_1 = PQ$$ .
От луча $$A_1B_1$$ строим угол, равный $\angle A$ , а от луча $$B_1A_1$$ в ту же полуплоскость — угол, равный $\angle B$ . Точка пересечения сторон этих углов — $$C_1$$ .

Обоснование: $\angle A_1 = \angle A$ , $\angle B_1 = \angle B$ , поэтому $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ (первый признак) с коэффициентом $\dfrac{A_1B_1}{AB} = \sqrt{2}$ . Отношение площадей равно $(\sqrt{2})^2 = 2$ .

Ответ

Треугольник с углами A и B и стороной A₁B₁ = AB√2 (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом AB)

Почему так

Площадь вдвое больше, когда коэффициент подобия равен √2, а отрезок AB√2 — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами AB.

Подробнее — в теме «Отношение площадей подобных треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).