Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 734

Задача 1

Условие (кратко)

Даны три отрезка длиной a, b и c. Постройте отрезок, длина которого равна ab/c.

Решение

Искомый отрезок $x = \dfrac{ab}{c}$ удовлетворяет пропорции $\dfrac{x}{b} = \dfrac{a}{c}$ — это четвёртый пропорциональный отрезок.

Построение.

Строим произвольный неразвёрнутый угол с вершиной $$O$$ .
На одной его стороне откладываем $$OC = c$$ и $$OA = a$$ , на другой — $$OB = b$$ .
Проводим прямую $$CB$$ , а через точку $$A$$ — прямую, параллельную $$CB$$ . Она пересекает вторую сторону угла в точке $$X$$ .

Обоснование: $AX \parallel CB$ , угол $$O$$ общий, поэтому $\triangle OAX \sim \triangle OCB$ и $\dfrac{OX}{OB} = \dfrac{OA}{OC}$ , то есть $\dfrac{OX}{b} = \dfrac{a}{c}$ и $OX = \dfrac{ab}{c}$ .

Ответ

Отрезок OX = ab/c — четвёртый пропорциональный к c, a и b

Почему так

Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает подобный треугольник, и это позволяет построить отрезок из пропорции x/b = a/c.

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).