В чём состоит метод подобия в задачах на построение?

Сначала строят треугольник, подобный искомому, затем по линейному элементу — сам искомый

Сразу строят треугольник по трём сторонам

Строят два равных треугольника и сравнивают их

Измеряют углы транспортиром и вычисляют стороны

Какие данные задают только форму треугольника (с ними можно построить треугольник, подобный искомому, но не определить его размер)?

Угол и отношение сторон, его образующих

Почему треугольники, образованные предметами и их тенями, подобны?

Солнечные лучи параллельны, предметы вертикальны — два угла равны

У них равны все стороны

Тени всегда равны высотам предметов

Любые два прямоугольных треугольника подобны

Подобие в задачах на построение и измерение

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Первый признак подобия треугольников

Коротко о главном

Подобие позволяет решать задачи «в два шага»: сначала получить треугольник нужной формы, потом довести его до нужного размера. Так строят треугольники по двум углам и одному отрезку и так измеряют на местности высоту дерева или ширину реки, не залезая на дерево и не переплывая реку.

\frac{H}{h} = \frac{L}{l}

Подробное объяснение

Как узнать высоту дерева, не забираясь на него? Достаточно солнечного дня и рулетки. Измерьте тень дерева, свой рост и свою тень — и простая пропорция даст ответ. Работает это потому, что треугольники «дерево — тень» и «человек — тень» подобны.

Метод подобия в задачах на построение

Треугольник определяется своей формой и размером. Форму задают углы (или угол и отношение сторон при нём), размер — какой-нибудь отрезок: сторона, высота, медиана, биссектриса. Метод подобия разделяет эти две задачи.

По данным о форме строят любой треугольник, подобный искомому. Например, на произвольном отрезке $$A_1B_1$$ строят два данных угла.
В этом вспомогательном треугольнике проводят нужный элемент (биссектрису, высоту, медиану) и на нём откладывают данный отрезок.
Через конец отложенного отрезка проводят прямую, параллельную стороне вспомогательного треугольника. Получается треугольник с теми же углами, но нужного размера.

Почему углы сохраняются: при параллельных прямых соответственные углы равны. Почему отрезок нужной длины — мы его так отложили. Если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$ , решение есть и оно единственное: все треугольники с такими углами и таким отрезком равны.

Высота предмета

По тени. Солнечные лучи практически параллельны, предметы стоят вертикально. Треугольники «предмет — тень — луч» прямоугольные и имеют равные острые углы, то есть подобны по первому признаку. Отсюда $\dfrac{H}{h} = \dfrac{L}{l}$ , где $$H$$ и $$L$$ — высота и тень предмета, $$h$$ и $$l$$ — высота и тень шеста (или человека).

Вертикальные дерево высотой H и шест высотой h отбрасывают тени L и l. Параллельные солнечные лучи идут через их верхушки к концам теней, образуя два подобных прямоугольных треугольника. — Солнечные лучи параллельны, поэтому треугольники подобны и H : h = L : l.

С шестом. Если солнца нет, ставят шест и встают так, чтобы верхушки шеста и предмета были на одной прямой с глазом (или точкой на земле). Прямоугольные треугольники с общим острым углом у наблюдателя подобны.

С зеркалом. Зеркальце кладут на землю. Луч от верхушки дерева отражается и попадает в глаз; угол падения равен углу отражения. Треугольники «дерево — зеркало» и «человек — зеркало» подобны.

Расстояние до недоступной точки

Пусть до точки $$B$$ (на другом берегу) не добраться. Выбираем точку $$C$$ , измеряем отрезок $$AC$$ и углы $$A$$ и $$C$$ (астролябией или теодолитом). На бумаге строим треугольник $$A_1B_1C_1$$ с такими же углами. Треугольники подобны, поэтому

AB = \frac{AC \cdot A_1B_1}{A_1C_1}.

Удобно строить чертёж в масштабе

\(1 : 1000\)

: тогда каждый миллиметр на бумаге — это метр на местности.

Как решать задачи

Найдите на рисунке два треугольника, которые должны быть подобны, и докажите это (обычно по двум углам: прямой угол плюс общий угол или угол при параллельных).
Выпишите соответственные стороны в одном порядке: высота к высоте, тень к тени.
Составьте пропорцию и выразите неизвестное.
Переведите все длины в одинаковые единицы.
Если ищется часть отрезка (ширина реки), найдите сначала весь отрезок, а потом вычтите известную часть.

Разобранные примеры

База

Высота флагштока по тени

Условие

Шест длиной 1,2 м отбрасывает тень 0,8 м, а флагшток в то же время — тень 6 м. Найдите высоту флагштока.

Дано

$$h = 1{,}2$$ м
$$l = 0{,}8$$ м
$$L = 6$$ м

Найти

$$H$$

Решение

Треугольники «шест — тень» и «флагшток — тень» прямоугольные и имеют равный угол наклона лучей, поэтому подобны. $\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{6}{0{,}8}$ , откуда $H = \dfrac{1{,}2 \cdot 6}{0{,}8} = 9$ м.

Ответ: 9 м

Средний

Расстояние через озеро

Условие

Чтобы найти расстояние $$AB$$ через озеро, на берегу отмерили $$AC = 80$$ м и измерили углы $$A$$ и $$C$$ . На бумаге построили треугольник $$A_1B_1C_1$$ с такими же углами и $$A_1C_1 = 8$$ см. Оказалось, что $A_1B_1 = 11{,}5$ см. Найдите $$AB$$ .

Дано

$$AC = 80$$ м
$$A_1C_1 = 8$$ см
$A_1B_1 = 11{,}5$ см

Найти

$$AB$$

Решение

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ по двум углам.
$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ , то есть $AB = A_1B_1 \cdot \dfrac{AC}{A_1C_1}$ .
$\dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{8000 \text{ см}}{8 \text{ см}} = 1000$ , поэтому $AB = 11{,}5 \cdot 1000 = 11\,500$ см $$= 115$$ м.

Ответ: 115 м

Сложный

Треугольник по двум углам и медиане

Условие

Постройте треугольник $$ABC$$ , если даны углы $$A$$ и $$B$$ и медиана $$CM$$ , проведённая из вершины третьего угла.

Решение

Дано: углы $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha + \beta < 180^\circ$ ), отрезок $$m$$ . Построить: $\triangle ABC$ , $\angle A = \alpha$ , $\angle B = \beta$ , $$CM = m$$ .

На произвольном отрезке $$A_1B_1$$ строим углы $\alpha$ и $\beta$ ; их стороны пересекутся в точке $$C$$ . Треугольник $$A_1B_1C$$ подобен искомому.
Находим середину $$M_1$$ отрезка $$A_1B_1$$ , проводим луч $$CM_1$$ и откладываем на нём $$CM = m$$ .
Через $$M$$ проводим прямую, параллельную $$A_1B_1$$ ; она пересечёт лучи $$CA_1$$ и $$CB_1$$ в точках $$A$$ и $$B$$ .

Почему верно: углы $$A$$ и $$B$$ равны $\alpha$ и $\beta$ как соответственные. Из подобия $\triangle CAM \sim \triangle CA_1M_1$ и $\triangle CBM \sim \triangle CB_1M_1$ получаем $\dfrac{AM}{A_1M_1} = \dfrac{CM}{CM_1} = \dfrac{BM}{B_1M_1}$ , а $$A_1M_1 = B_1M_1$$ , значит, $$AM = BM$$ и $$CM$$ — медиана длины $$m$$ .

Ответ: Треугольник ABC построен; при α + β < 180° решение единственное

Типичные ошибки

Путают соответственные стороны в пропорции

Почему неверно

В задаче с тенью пишут $\dfrac{H}{l} = \dfrac{h}{L}$ — высоту дерева делят на тень человека. Выходит дерево ниже человека или выше облаков.

Как правильно

Пропорция строится «высота к высоте, тень к тени»: $\dfrac{H}{h} = \dfrac{L}{l}$ . Проверка здравым смыслом: у кого тень длиннее, тот и выше.

Забывают перевести единицы

Почему неверно

В задаче с зеркалом $$AD = 120$$ см, $$DE = 4{,}8$$ м, и ученик делит 4,8 на 120 — получает ответ в 100 раз меньше настоящего.

Как правильно

Перед подстановкой переведите все длины в одни единицы (например, в метры): $$AD = 1{,}2$$ м. Отношение двух длин имеет смысл, только если они в одинаковых единицах.

Считают задачу на построение решённой после первого шага

Почему неверно

Построили треугольник с данными углами — и остановились. Но размер не тот: биссектриса (высота, медиана) у него произвольной длины.

Как правильно

После вспомогательного треугольника обязательно отложите данный отрезок и проведите параллельную прямую, а в конце объясните, почему полученный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Вертикальный шест длиной 1 м отбрасывает тень 0,6 м. В то же время тень башни равна 18 м. Найдите высоту башни.

Подсказка

Солнечные лучи параллельны, поэтому высоты предметов пропорциональны длинам их теней.

Решение

Треугольники «шест — тень» и «башня — тень» подобны по двум углам (прямой угол и одинаковый угол падения лучей). $H = \dfrac{1 \cdot 18}{0{,}6} = 30$ м.

Ответ

30 м

База Задача 2

Чтобы найти расстояние AB до недоступной точки B, измерили AC = 60 м и углы A и C, а на бумаге построили подобный треугольник A₁B₁C₁ с A₁C₁ = 6 см. Отрезок A₁B₁ оказался равен 9 см. Найдите AB.

Подсказка

Отношения соответственных сторон подобных треугольников равны.

Решение

$\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1}$ , поэтому $AB = \dfrac{60 \cdot 9}{6} = 90$ м.

Ответ

90 м

Средний Задача 3

Мальчик положил зеркальце на землю в 7,5 м от дома и отошёл от него на 2 м, так что увидел в зеркале край крыши. Его глаза находятся на высоте 1,6 м. Найдите высоту дома.

Подсказка

Угол падения луча равен углу отражения, поэтому треугольники «мальчик — зеркало» и «дом — зеркало» подобны.

Решение

Прямоугольные треугольники подобны по острому углу при зеркале. $\dfrac{H}{1{,}6} = \dfrac{7{,}5}{2}$ , $H = \dfrac{1{,}6 \cdot 7{,}5}{2} = 6$ м.

Ответ

6 м

Средний Задача 4

Шест высотой 2 м стоит в 15 м от дерева. Если лечь на землю в 3 м от шеста (с другой стороны от дерева), верхушки шеста и дерева видны на одной прямой. Найдите высоту дерева.

Подсказка

От наблюдателя до дерева 3 + 15 = 18 м. Треугольники с общим углом у наблюдателя подобны.

Решение

Треугольники «наблюдатель — шест» и «наблюдатель — дерево» прямоугольные с общим острым углом. $\dfrac{H}{2} = \dfrac{18}{3}$ , $$H = 12$$ м.

Ответ

12 м

Сложный Задача 5

Ширину BB₁ пруда измеряют так: точки A, B₁, B лежат на одной прямой, на луче AC отмечена точка C₁, причём B₁C₁ ∥ BC. Найдите BB₁, если AC = 60 м, AC₁ = 24 м, AB₁ = 30 м.

Подсказка

Найдите сначала всё расстояние AB из подобия треугольников ABC и AB₁C₁.

Решение

$\triangle ABC \sim \triangle AB_1C_1$ (угол $$A$$ общий, соответственные углы при $B_1C_1 \parallel BC$ равны). $AB = \dfrac{AB_1 \cdot AC}{AC_1} = \dfrac{30 \cdot 60}{24} = 75$ м, $$BB_1 = 75 - 30 = 45$$ м.

Ответ

45 м

Сложный Задача 6

Впишите в данный треугольник ABC квадрат так, чтобы две его вершины лежали на стороне AC, а две другие — на сторонах AB и BC.

Подсказка

Сначала постройте «маленький» квадрат с тремя вершинами на AB и AC, а потом увеличьте его, проведя луч из точки A.

Решение

Возьмём на $$AB$$ любую точку $$N$$ , опустим перпендикуляр $$NK$$ на $$AC$$ и построим квадрат $$KLMN$$ со стороной $$NK$$ (точка $$L$$ на $$AC$$ , вершина $$M$$ внутри угла).
Проведём луч $$AM$$ ; он пересечёт $$BC$$ в точке $$M'$$ .
Из $$M'$$ опустим перпендикуляр $$M'L'$$ на $$AC$$ , проведём $M'N' \parallel AC$ до пересечения с $$AB$$ в точке $$N'$$ и опустим перпендикуляр $$N'K'$$ на $$AC$$ . Квадрат $$K'L'M'N'$$ — искомый.

Почему это квадрат: $$K'L'M'N'$$ — прямоугольник по построению. $\triangle ANM \sim \triangle AN'M'$ и $\triangle AML \sim \triangle AM'L'$ (параллельные стороны), поэтому $\dfrac{N'M'}{NM} = \dfrac{AM'}{AM} = \dfrac{M'L'}{ML}$ . Так как $$NM = ML$$ , то $$N'M' = M'L'$$ .

Ответ

Квадрат K′L′M′N′ построен методом подобия

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. В солнечный день выйдите во двор с рулеткой. Измерьте тень ребёнка и его рост, затем тень фонарного столба или дерева. Пусть ребёнок сам составит пропорцию «рост : тень = высота столба : его тень» и посчитает. Можно проверить результат другим способом — с зеркальцем на земле.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему тени от разных предметов дают подобные треугольники? 2) Что задаёт форму треугольника, а что — его размер? 3) Зачем на бумаге удобно брать масштаб 1 : 1000?

На что обратить внимание. Главное в задачах на измерение — правильно сопоставить соответственные стороны и не перепутать единицы. В задачах на построение важно не только построить, но и объяснить, почему фигура подходит: какие углы равны и почему отрезок нужной длины.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 72	690, 691, 692, 693, 694, 695, 696
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 73	685, 686, 687, 688, 689