Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 735

Задача 1

Условие (кратко)

Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Решение

Даны точки $$M$$ , $$N$$ , $$P$$ (не на одной прямой). Если $$M$$ , $$N$$ , $$P$$ — середины сторон $$AB$$ , $$BC$$ , $$CA$$ , то $$MN$$ , $$NP$$ , $$PM$$ — средние линии, и каждая сторона треугольника параллельна средней линии, которая её не пересекает.

Построение.

Через $$M$$ проводим прямую, параллельную $$NP$$ ; через $$N$$ — параллельную $$PM$$ ; через $$P$$ — параллельную $$MN$$ .
Точки пересечения этих прямых — вершины $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ искомого треугольника.

Обоснование: $$AMNP$$ и $$MBNP$$ — параллелограммы (противоположные стороны параллельны), поэтому $$AM = PN$$ и $$MB = PN$$ , то есть $$M$$ — середина $$AB$$ . Так же $$N$$ — середина $$BC$$ , а $$P$$ — середина $$CA$$ . Задача имеет единственное решение.

Ответ

Прямые через данные точки, параллельные отрезкам, соединяющим две другие точки, образуют искомый треугольник

Почему так

Стороны треугольника параллельны средним линиям, поэтому их проводят через середины параллельно противоположным отрезкам.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).