Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Дополнительные задачи к главе VIII, задание 736

Условие (кратко)

Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Решение

Даны отрезки $$a$$ , $$m_b$$ , $$m_c$$ . Нужно построить $\triangle ABC$ с $$BC = a$$ , медианой из $$B$$ , равной $$m_b$$ , и медианой из $$C$$ , равной $$m_c$$ .

Анализ: медианы пересекаются в точке $$G$$ и делятся ею в отношении $$2 : 1$$ , считая от вершины, поэтому $BG = \dfrac{2}{3} m_b$ , $CG = \dfrac{2}{3} m_c$ . Треугольник $$BGC$$ строится по трём сторонам.

Построение.

Делим отрезки $$m_b$$ и $$m_c$$ на три равные части и берём по две части: получаем $\dfrac{2}{3} m_b$ и $\dfrac{2}{3} m_c$ .
Строим $\triangle BGC$ со сторонами $$BC = a$$ , $BG = \dfrac{2}{3} m_b$ , $CG = \dfrac{2}{3} m_c$ .
Отмечаем середину $$A_1$$ отрезка $$BC$$ , проводим луч $$A_1G$$ и откладываем на нём $A_1A = 3 \cdot A_1G$ .

Обоснование: в $\triangle ABC$ отрезок $$AA_1$$ — медиана, а точка $$G$$ делит её в отношении $$2 : 1$$ от вершины, значит, $$G$$ — точка пересечения медиан. Тогда медиана из $$B$$ равна $\dfrac{3}{2} BG = m_b$ , медиана из $$C$$ равна $\dfrac{3}{2} CG = m_c$ .

Задача имеет решение, если из отрезков $$a$$ , $\dfrac{2}{3} m_b$ , $\dfrac{2}{3} m_c$ можно составить треугольник.

Ответ

Строим △BGC со сторонами a, 2/3 mb, 2/3 mc, затем вершину A на луче A₁G (A₁ — середина BC) так, что A₁A = 3·A₁G

Почему так

Точка пересечения медиан делит каждую в отношении 2 : 1, поэтому треугольник BGC строится по трём известным сторонам.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Задание 736

Задача 1