Задача 1
Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей между параллельными прямыми виден из центра окружности под прямым углом.
Решение
Дано: \(a \parallel b\), секущая \(c\) пересекает \(a\) в точке \(A\), а \(b\) — в точке \(B\); окружность с центром \(O\) касается прямых \(a\), \(b\) и \(c\). Доказать: \(\angle AOB = 90^\circ\).
-
Окружность лежит между прямыми \(a\) и \(b\) и по одну сторону от секущей. Из точки \(A\) к ней проведены две касательные — прямые \(a\) и \(c\). Отрезок, соединяющий точку с центром, делит угол между касательными пополам, поэтому \(AO\) — биссектриса того угла при вершине \(A\), внутри которого лежит окружность. Так же \(BO\) — биссектриса угла при вершине \(B\).
-
Эти два угла — внутренние односторонние углы при параллельных прямых \(a\), \(b\) и секущей \(AB\), поэтому их сумма равна \(180^\circ\).
-
Значит, \(\angle OAB + \angle OBA = \dfrac{180^\circ}{2} = 90^\circ\), и в треугольнике \(AOB\) третий угол \(\angle AOB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
Ответ
Центр окружности лежит на биссектрисах односторонних углов, а половина их суммы равна 90°.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение прямой и окружности».