Какие утверждения верны?

Прямая, проходящая через центр окружности, — секущая

Если d = r, все точки прямой, кроме одной, лежат вне окружности

Если d > r, прямая может касаться окружности

Прямая и окружность могут иметь три общие точки

Диаметр окружности 12 см, расстояние от центра до прямой 8 см. Как расположены прямая и окружность?

Не хватает данных

Прямая и окружность — 8 класс, геометрия: объяснение, примеры, задачи

Коротко о главном

Сколько общих точек у прямой и окружности, решает сравнение расстояния $$d$$ от центра до прямой с радиусом $$r$$ . В 8 классе к этому добавляется счёт: по теореме Пифагора находим половину хорды и длину отрезка касательной.

d < r \text{ — две точки}, \quad d = r \text{ — одна}, \quad d > r \text{ — ни одной}; \qquad \frac{AB}{2} = \sqrt{r^2 - d^2}

Подробное объяснение

Три случая расположения прямой и окружности, свойство и признак касательной вы уже знаете из темы 7 класса «Касательная к окружности». Здесь мы повторим их коротко и научимся считать длины, которые раньше были недоступны: теперь у нас есть теорема Пифагора.

Повторим: три случая

Пусть $$O$$ — центр окружности радиуса $$r$$ , $$OH$$ — перпендикуляр к прямой $$p$$ , $$d = OH$$ .

$$d < r$$ — прямая секущая, общих точек две.
$$d = r$$ — прямая касательная, общая точка одна (точка касания $$H$$ ).
$$d > r$$ — общих точек нет.

Если прямая проходит через центр, $$d = 0$$ , и она пересекает окружность в концах диаметра.

Где именно секущая пересекает окружность

Окружность с центром O и радиусом r пересекает прямую p в точках A и B. Перпендикуляр OH к прямой равен d, отрезок HB выделен, треугольник OHB прямоугольный. — Из прямоугольного треугольника OHB по теореме Пифагора HB = √(r² − d²), а вся хорда AB вдвое длиннее.

Почему при $$d < r$$ общих точек действительно две? Отложим от точки $$H$$ по прямой в обе стороны отрезки длиной $\sqrt{r^2 - d^2}$ — получим точки $$A$$ и $$B$$ . По теореме Пифагора $$OB^2 = OH^2 + HB^2 = d^2 + (r^2 - d^2) = r^2$$ , то есть $$OB = r$$ , и точка $$B$$ лежит на окружности. Так же и точка $$A$$ .

Третьей общей точки нет: если бы ещё точка $$C$$ лежала и на прямой, и на окружности, то из $$O$$ к прямой можно было бы провести второй перпендикуляр — высоту равнобедренного треугольника $$OAC$$ . А перпендикуляр из точки к прямой единственный.

Отсюда главная формула темы: перпендикуляр из центра делит хорду пополам, а половина хорды равна $\sqrt{r^2 - d^2}$ . Хорда $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Почему при d = r и d > r всё так, как сказано

Если $$d = r$$ , точка $$H$$ лежит на окружности. Любая другая точка $$M$$ прямой дальше: $$OM$$ — наклонная, она длиннее перпендикуляра, $$OM > r$$ . Если $$d > r$$ , то для любой точки прямой $OM \ge OH > r$ , и на окружность она не попадает.

Отрезок касательной

Касательная перпендикулярна радиусу в точку касания. Поэтому если из точки $$A$$ провести касательную $$AB$$ , то треугольник $$OBA$$ прямоугольный и

AB = \sqrt{OA^2 - r^2}.

Как решать задачи

Видите прямую и окружность — опустите перпендикуляр из центра на прямую и обозначьте его $$d$$ .
Чтобы узнать расположение, сравните $$d$$ с радиусом (не с диаметром!). Единицы приведите к одним.
Для хорды стройте прямоугольный треугольник «радиус — перпендикуляр — половина хорды» и применяйте теорему Пифагора.
Для касательной проводите радиус в точку касания: прямой угол даёт треугольник «радиус — отрезок касательной — расстояние до центра».

Разобранные примеры

База

Расположение при разных единицах

Условие

Радиус окружности 3 дм. Расстояние от центра до прямой равно 280 мм. Как расположены прямая и окружность?

Дано

$$r = 3$$ дм
$$d = 280$$ мм

Найти

расположение

Решение

Переводим в миллиметры: $$r = 300$$ мм. Так как $$280 < 300$$ , то $$d < r$$ , прямая — секущая.

Ответ: Прямая пересекает окружность в двух точках

Средний

Длина хорды

Условие

Прямая удалена от центра окружности радиуса 17 см на 8 см. Найдите длину хорды, которую окружность высекает на прямой.

Дано

$$r = 17$$ см
$$d = 8$$ см

Найти

$$AB$$

Решение

Перпендикуляр $$OH$$ делит хорду пополам. Из прямоугольного треугольника $$OHB$$ : $HB = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см. Значит, $AB = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Ответ: 30 см

Сложный

Касательная или нет

Условие

Из точки $$A$$ на прямую $$a$$ , проходящую через центр $$O$$ окружности радиуса 4 см, опущен перпендикуляр $$AH$$ . Известно, что $$OA = 8$$ см и $\angle AOH = 60^\circ$ . Касается ли прямая $$AH$$ окружности?

Дано

$AH \perp a$
$O \in a$
$$r = 4$$ см
$$OA = 8$$ см
$\angle AOH = 60^\circ$

Найти

является ли $$AH$$ касательной

Решение

Отрезок $$OH$$ лежит на прямой $$a$$ , а $a \perp AH$ , поэтому $$OH$$ — перпендикуляр из центра к прямой $$AH$$ , то есть $$d = OH$$ .

В прямоугольном треугольнике $$AHO$$ угол $OAH = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ . Катет $$OH$$ лежит против угла $30^\circ$ , значит, $OH = \dfrac{OA}{2} = 4$ см.

Получили $$d = 4$$ см $$= r$$ , поэтому прямая $$AH$$ касается окружности, точка касания — $$H$$ .

Ответ: Да, расстояние от центра до прямой равно радиусу, 4 см

Типичные ошибки

Сравнивают расстояние с диаметром

Почему неверно

От центра до окружности — радиус. При диаметре 10 см и $$d = 7$$ см получается «секущая», хотя $$7 > 5$$ и общих точек нет.

Как правильно

Сравнивайте $$d$$ только с радиусом; если дан диаметр, сначала разделите его на 2.

Забывают удвоить половину хорды

Почему неверно

Теорема Пифагора в треугольнике $$OHB$$ даёт только $$HB$$ — половину хорды. Ответ «8 см» вместо «16 см» — частая потеря балла.

Как правильно

Отметьте на чертеже, что $$H$$ — середина $$AB$$ , и в конце запишите $$AB = 2HB$$ .

Принимают за d расстояние до какой-нибудь точки прямой

Почему неверно

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Наклонная $$OM$$ всегда длиннее, и сравнение $$OM$$ с радиусом ничего не говорит о расположении.

Как правильно

Опускайте из центра именно перпендикуляр на прямую и сравнивайте его длину с радиусом.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Радиус окружности 10 см. Расстояние от её центра до прямой a равно 0,8 дм, до прямой b — 100 мм, до прямой c — 1,1 дм. Как расположена каждая прямая относительно окружности?

Подсказка

Сначала переведите всё в сантиметры.

Решение

Переводим в сантиметры: $$d_a = 8$$ см, $$d_b = 10$$ см, $$d_c = 11$$ см.

$$8 < 10$$ — прямая $$a$$ секущая. $$10 = 10$$ — прямая $$b$$ касательная. $$11 > 10$$ — у прямой $$c$$ с окружностью нет общих точек.

Ответ

a — секущая, b — касательная, c — общих точек нет

База Задача 2

Прямая касается окружности с центром O в точке B, A — точка этой прямой, OA = 13 см, радиус 5 см. Найдите AB.

Подсказка

Треугольник OBA прямоугольный с прямым углом B.

Решение

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, поэтому $\angle OBA = 90^\circ$ . По теореме Пифагора $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ

12 см

Средний Задача 3

Прямая находится на расстоянии 6 см от центра окружности радиуса 10 см. Найдите длину хорды, которую окружность отсекает на прямой.

Подсказка

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам.

Решение

Пусть $$OH$$ — перпендикуляр к прямой, $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения. Треугольник $$OAB$$ равнобедренный ( $$OA = OB = r$$ ), его высота $$OH$$ — медиана, поэтому $$AH = HB$$ .

$HB = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ см, $AB = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Ответ

16 см

Средний Задача 4

Хорда длиной 24 см удалена от центра окружности на 5 см. Будет ли касательной к этой окружности прямая, удалённая от центра на 13 см?

Подсказка

Найдите радиус из прямоугольного треугольника, образованного радиусом, половиной хорды и перпендикуляром к ней.

Решение

Половина хорды 12 см, расстояние до хорды 5 см, поэтому $r = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ см. Расстояние от центра до второй прямой тоже 13 см, $$d = r$$ — прямая касательная.

Ответ

Да, радиус равен 13 см, поэтому прямая касательная

Сложный Задача 5

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности с центром O радиуса 6 см (B и C — точки касания), OA = 10 см. Найдите длину хорды BC.

Подсказка

Найдите AB, затем запишите площадь треугольника ABO двумя способами, чтобы найти расстояние от B до прямой AO.

Решение

$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ см. Прямая $$AO$$ — серединный перпендикуляр к $$BC$$ (точки $$A$$ и $$O$$ равноудалены от $$B$$ и $$C$$ ); пусть $$K$$ — точка пересечения $$AO$$ и $$BC$$ , тогда $$BK$$ — высота треугольника $$ABO$$ и $$BC = 2BK$$ .

Площадь прямоугольного треугольника $$ABO$$ : $S = \dfrac{AB \cdot OB}{2} = \dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24$ см². С другой стороны, $S = \dfrac{OA \cdot BK}{2}$ , откуда $BK = \dfrac{2 \cdot 24}{10} = 4{,}8$ см. $BC = 2 \cdot 4{,}8 = 9{,}6$ см.

Ответ

9,6 см

Сложный Задача 6

Докажите, что прямая, проходящая через точку внутри окружности, пересекает окружность в двух точках.

Подсказка

Сравните расстояние от центра до прямой с расстоянием от центра до данной точки.

Решение

Дано: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$ , точка $$M$$ , $$OM < r$$ , прямая $$p$$ проходит через $$M$$ . Доказать: $$p$$ — секущая.

Пусть $$OH$$ — перпендикуляр к $$p$$ ( $$d = OH$$ ). Если $$H = M$$ , то $$d = OM < r$$ . Если $H \ne M$ , то $$OM$$ — наклонная, а перпендикуляр короче наклонной: $$d = OH < OM < r$$ . В обоих случаях $$d < r$$ , значит, прямая и окружность имеют две общие точки.

Ответ

Утверждение доказано: d ≤ OM < r, поэтому прямая секущая

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте циркулем окружность радиусом 5 см и проведите несколько параллельных прямых на разном расстоянии от центра: 3 см, 5 см, 7 см. Пусть ребёнок посчитает, сколько общих точек у каждой. Для прямой на расстоянии 3 см попросите измерить хорду линейкой и сравнить с расчётом $2\sqrt{5^2 - 3^2} = 8$ см.

Вопросы для проверки понимания: 1) Радиус 6 см, расстояние от центра до прямой 6 см — сколько общих точек? 2) Почему перпендикуляр из центра делит хорду пополам? 3) Как найти длину отрезка касательной, если известны радиус и расстояние от точки до центра?

На что обратить внимание. Сама классификация знакома с 7 класса; новое — счёт по теореме Пифагора. Следите, чтобы ребёнок всегда строил прямоугольный треугольник с радиусом в роли гипотенузы (для хорды) или катета (для касательной) и не путал эти случаи.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Геометрия. 7–9 классы (Атанасян, Бутузов и др.)	§ 76	737, 738, 740, 741, 742, 743, 744, 745, 746, 747, 748, 749